3.1.1. Вывод формулы Найквиста

Проведем расчет спектральной плотности мощности для теплового шума резистора S_T , т.е. приведем доказательство теоремы Найквиста (1928). Тепловой шум резистора может быть описан с помощью генератора среднеквадратичной ЭДС U_T = [S_T(0) f ], включенным последовательно с сопротивлением R (рис.3.1). Этот генератор шумового напряжения является источником с равномерным спектром от нулевой частоты до весьма высоких частот. Такой генератор называют генератором белого шума, СП шума которого и нужно найти. Для белого шума СП шума S_T(f) = const.

Рассмотрим вначале RС цепь, показанную на рис.3.1, при подаче гармонического напряжения U = U₀ e^it. В этом случае напряжение U_C на конденсаторе будет

(3.2)

И для квадрата напряжения имеем:

(3.3)

Рис. 3.1. Электрическая схема для расчета спектральной плотности теплового шума (для вывода формулы Найквиста).

Тепловой шум резистора R представлен генератором напряжения теплового шума U_T. При этом вклад в напряжение на конденсаторе от генератора шума в частотном интервале df дается формулой:

(3.4)

а средний квадрат напряжения на конденсаторе определяется:

(3.5)

После интегрирования получаем:

(3.6)

и для СП теплового шума имеем:

(3.7)

Электрическая схема на рис. 3.1 описывается одной степенью свободы – напряжением U_C на конденсаторе. По закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы для этой схемы можно записать:

(3.8)

где k - постоянная Больцмана (k= 1,3810^-23Дж/К), Т - абсолютная температура.

Из формулы (3.8) для квадрата флуктуаций напряжения на конденсаторе имеем следующее выражение:

(3.9)

После подстановки выражения (3.8) в формулу (3.7) получим выражение для СП напряжения теплового шума для образца с активным сопротивлением R:

, (3.10)

а средний квадрат напряжения для спонтанных тепловых флуктуаций на зажимах разомкнутого резистора при обычных рабочих температурах дается формулой Найквиста:

, В² (3.11)

где f - полоса частот, пропускаемая схемой или измерительным прибором, в Гц.

На рис. 3.2 приведена эквивалентная схема для шумящего резистора R с генератором напряжения шума U_T, подключенного к бесшумной нагрузке R1.

Рис. 3.2. Эквивалентная схема резистора R с генератором напряжения теплового шума U_T, подключенного к бесшумной нагрузке R1.

Поскольку =R² , то для СП шумового тока, протекающего через зажимы короткозамкнутого резистора, имеем выражение:

, (3.12)

где – средний квадрат флуктуаций тока, измеренный в полосе частот

На рис. 3.3. приведена эквивалентная схема шумящего резистора с генератором тока для теплового шума I_T = .

Рис. 3.3. Эквивалентная схема резисторас генератором тока для теплового шумаI_T = :G =R^-1– проводимость резистора.

Таким образом, любой резистор, имеющий сопротивление R, можно представить в виде эквивалентной схемы с последовательно соединенными элементами: не шумящего резистора с сопротивлениемRи эквивалентного генераторанапряжения теплового шума U_T, как показано на рис. 3.2, или в виде параллельно соединенных элементов: генератора шумового токаI_Tи не шумящей проводимости резистора G=1/R, включенных параллельно (рис. 3.3). Оба представления эквивалентны. Поскольку тепловой шум является белым шумом, то спектральные плотности шума генераторов напряжения или тока не зависят от частоты в широком диапазоне.

Следует иметь в виду, что тепловой шум описывает флуктуации, имеющие место в любой термодинамически равновесной системе. При этом чувствительность многих радиоэлектронных устройств, и прежде всего, работающих в гигагерцовом диапазоне частот, в частности, телефонов мобильной связи определяется в основном тепловыми шумами. Для снижения тепловых шумов используют охлаждение электронной аппаратуры вплоть до температуры жидкого гелия (4,2 К), что позволило создать радиоприемные устройства, обладающие чрезвычайно низким уровнем собственного шума.