Grishina

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ УДЕЛЬНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ МЕТАЛЛОВ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Цель работы: изучить теорию теплоемкости твердого тела; экспериментально проверить зависимость удельной теплоемкости металлов от температуры.

Техника безопасности. В работе образцы нагреваются до температуры 500 °С. Поэтому категорически запрещается касаться их в момент нагрева и остывания руками.

Краткие теоретические сведения

Коэффициент объемного расширения твердых тел мал, поэтому различие между теплоемкостями при постоянном давлении и при постоянном объеме не-

велико. При комнатной температуре CP больше CV на 3÷5 %. Однако это различие возрастает с повышением температуры. В соответствии с этим не имеет смысла подразделять CP и СV и можно пользоваться одним обозначением C .

Из молекулярной физики известно, что теплоемкость при постоянном объеме есть первая производная по температуре от внутренней энергии тела:

Внутренняя энергия твердого тела U складывается из энергии колебательного движения частиц, находящихся в узлах решетки, и из взаимной потенциальной энергии этих частиц. Вообще говоря, колебания узлов решетки не являются независимыми, но при достаточно высоких температурах, когда энергия колебаний становится большой, в первом приближении частицы можно рассматривать как независимые. Полная энергия колеблющейся частицы равна сумме потенциальной и кинетической энергии: Е = П + ЕK. Если масса частицы m, амплитуда колебания А и круговая частота ω, то

П 12 m 2 A2 cos2 t и EK 12 m 2 A2 sin2 t .

31

Частота тепловых колебаний решетки очень велика, поэтому даже за малый промежуток времени произойдет большое число колебаний. А это значит, что среднее значение потенциальной энергии за какое-то время будет равно среднему значению кинетической энергии за то же время (усредненное по времени значение квадрата синуса равно усредненному значению квадрата косинуса), т. е.

П EK и E П EK 2EK .

Если допустить, что и для твердого тела справедлива гипотеза о равномерном распределении энергии теплового движения по степеням свободы (на каж-

дую степень свободы приходится энергия 1 12kT ; указанное допущение яв-

ляется применением классической теории теплоемкостей к твердому телу), то полная энергия колебания одного узла решетки выразится формулой

так как для поступательного движения точки число степеней свободы i = 3. В уравнении (3) k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

Используя уравнение (3), легко написать выражение для внутренней энергии одного грамм-атома вещества U (для атомных решеток молекулярный вес совпадает с атомным, так как молекула состоит из одного атома). Имеем

дующее выражение для молярной теплоемкости твердого тела с атомной решеткой

1819 г. французскими физиками П. Дюлонгом и А. Пти законом (правилом): молярная теплоемкость всех химически простых кристаллических твердых тел приблизительно равна 25 Дж⁄моль ∙ К.

На первый взгляд кажется, что выводы классической теории теплоемкостей применительно к твердому телу дают хорошее совпадение с экспериментальными данными. Но более глубокое рассмотрение вопроса приводит к заключению, что эти выводы находятся в резком противоречии с опытом. По классической теории теплоемкость твердого тела не зависит от температуры (см. формулу 5). На самом деле теплоемкость уменьшается с понижением тем-

32

пературы и стремится к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю. Причиной уменьшения теплоемкости при низких температурах являются квантовые эффекты. В 1907 г. А. Эйнштейн предположил, что выражение Планка для средней энергии осциллятора

применимо не только к внутриатомным колебаниям, но и к тепловым колебаниям самих атомов. Слагаемое h 2 , не зависящее от температуры и сохра-

няющееся при T →0, называется нулевой энергией. Эйнштейн сделал грубое предположение, что все атомы твердого тела колеблются около своих положений равновесия с одной и той же частотой ν. В этом случае энергия грамммолекулы твердого тела равна

так как колебание каждого из NA атомов твердого тела можно представить в виде колебаний трех линейных осцилляторов. Теплоемкость одной грамм-молекулы твердого тела

33

Опыт показывает, что теплоемкость кристаллов изменяется вблизи абсолютного нуля не экспоненциально, а по закону . Следовательно, теория Эйнштейна дает лишь качественно правильный ход теплоемкости при низких температурах. Количественного согласия с опытом удалось достигнуть Дебаю. Теория тепловых упругих волн в кристаллах была разработана голландским физиком Дебаем в 1912 г. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного атома из положения равновесия влечет за собой смещение соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных друг с другом материальных точек, обладающую 3N степенями свободы. Механизм распространения тепловых упругих волн в кристаллах аналогичен механизму распространения акустических волн. Скорость распространения тепловых волн совпадает со скоростью распространения звука. Энергия распределяется между всеми видами волн, но большая часть ее приходится на короткие волны. Подобно энергии электромагнитных волн, энергия тепловых акустических волн тоже квантована. Квант звуковой энергии называется фононом. Энергия фонона

= ,

где h – постоянная Планка, ν – частота колебаний.

Фононы относятся к категории квазичастиц. Основное отличие квазичастиц от обычных частиц (электронов, протонов, нейтронов, фотонов) заключается в том, что квазичастицы не могут существовать в вакууме. Для своего возникновения и существования они нуждаются в некоторой вещественной среде. Квазичастицы–фононы являются элементарными носителями движения в системе частиц, входящих в кристаллическую решетку и связанных друг с другом силами взаимодействия. Согласно квантовой механике, частицы не могут находиться в покое, так как это противоречит принципу неопределенности. По принципу неопределенности

x Px h ,

где Px – неопределенность в определении импульса частицы,

x – неопределенность в определении ее координаты, – постоянная Планка. Если частица покоится, то ее координаты точно фиксированы и x = 0. Тогда неопределенность в импульсе частицы будет бесконечно большой, т. е. частица будет обладать большой кинетической энергией. Это противоречие позволяет сделать заключение, что самое низкое энергетическое состояние тела при T = 0 K тоже будет особым состоянием движения – так называемое нулевое движение. Особенность нулевого движения состоит в том, что оно не имеет дискрет-

34

ных характеристик, квазичастицы при этом как бы отсутствуют. Свойства твердого тела определяются не только свойствами его частиц и квазичастиц, но и характером нулевого движения. Совокупность динамических свойств квазичастиц в кристалле и характер его основного состояния (нулевого движения) образует то, что принято называть энергетическим спектром твердого тела. Дискретность дебаевских тепловых волн проявляется при температурах ниже характеристической температуры Дебая Θ, определяемой соотношением

h kmax ,

где νmax – максимальная частота тепловых колебаний частиц, свойственных данному твердому телу, k – постоянная Больцмана. По порядку величина Θ ≈ (102–103) K. Таким образом, характеристическая температура Дебая является температурным рубежом, ниже которого начинает проявляться квантовый характер тепловых волн. Исследуя теоретически с позиций квантовой теории вопрос о внутренней энергии кристаллов, Дебай нашел, что при температурах, близких к абсолютному нулю, внутренняя энергия твердого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры

U T 4 ,

где α – постоянный множитель, зависящий от природы кристалла. Из этого соотношения можно найти выражение для теплоемкости

C dUdT 4 T 3 .

Следовательно, вблизи абсолютного нуля теплоемкость твердого тела пропорциональна кубу абсолютной температуры. Эта закономерность носит название закона кубов Дебая. Область применения закона кубов лежит ниже температуры, равной Θ/50. При более высоких температурах от Θ/50 до Θ находится промежуточная область, для которой пока не установлена количественная связь между теплоемкостью и температурой. Выше температуры Θ теплоемкость твердого тела не зависит от температуры (закон Дюлонга и Пти). Теория Дебая приводит к выводам, которые хорошо совпадают с экспериментальными данными в широком интервале температур, но и она не свободна от недостатков. Трудно, например, согласиться с тем, что энергия кристалла отождествляется с энергией стоячих волн. В стоячей волне узлы и пучности закономерно распределены в пространстве, поэтому исключается возможность тепловых флуктуаций, совершенно неизбежных при тепловом движении. Дебаевская модель твердого тела является упрощенным представлением твердого тела в виде изотропной упругой среды, способной совершать колебания в конечном интервале

35

частот от нуля до = ( Θ)⁄ . Поэтому и выводы этой теории (например, зависимость теплоемкости от температуры) хорошо совпадают с экспериментальными данными только для кристаллов с простыми решетками. К телам сложной структуры теория Дебая неприменима, так как энергетический спектр колебаний таких тел оказывается сложным.

Экспериментальная часть работы

Зависимость удельной теплоемкости твердых тел (применительно к металлам) от температуры можно проверить экспериментально. Металлический образец, имеющий температуру выше окружающей среды, будет охлаждаться. Скорость охлаждения в данной среде будет зависеть от величины удельной теплоемкости металла и разности температур образца и окружающей среды. Если взять два образца одинаковой формы, но изготовленные из разных материалов, то, сравнивая скорости их охлаждения при различных температурах, по известной удельной теплоемкости одного из образцов, принятого за эталон, можно определить теплоемкость другого. При этом следует исходить из того, что при малом изменении температуры удельную теплоемкость образца можно считать постоянной. Отсюда

где c – удельная теплоемкость образца, m – масса образца, t0 t – скорость

охлаждения образца.

Благодаря процессам теплообмена, тепловой поток через границу образец – окружающая среда обусловлен скачком температуры на этой границе. Нормальная составляющая этого потока зависит от коэффициента теплопроводности и температур этих областей. Простейшее предположение, введенное Ньютоном, состоит в том, что количество теплоты, переданное образцом окружающей среде, пропорционально разности температур тела и среды на границе раздела этих областей, т. е.

где t00 – температура окружающей среды, S – площадь поверхности образца, α – коэффициент теплоотдачи (или коэффициент внешней теплопроводности).

Приравнивая правые части уравнений (6) и (7), имеем:

Написав уравнение для двух образцов, полагая, что S1 = S2, t1 = t2 и α1 = α2 (этот коэффициент зависит только от свойств окружающей среды), и поделив одно уравнение на другое, получим

где m1 – масса первого образца, m2 – масса второго образца. На рис. 1 приведена схема экспериментальной установке.

Нагревание образцов осуществляется электропечью 1. Образец 2 представляет собой цилиндр длиной 50 мм и диаметром 10 мм с высверленным в нем каналом. В этот канал помещается термопара 3, соединенная с термопарным

измерителем температур 4. Температура образца в отсчитывается по прибору 4 путем умножения показаний его в делениях шкалы на множитель, равный 5 . Питается электропечь от сети переменного тока напряжением 220 В через трансформатор с выходным напряжением 12 В.

В работе используются три образца: медный, железный и алюминиевый. За эталонный образец принимается образец из меди, для которого известна зависимость удельной теплоемкости от температуры в рассматриваемом интерва-

ле температур (см. таблицу 2). Образцы нагревают до температуры 500 , а за-

тем охлаждают до 80 . При этом необходимо следить, чтобы возле прибора не было перемещения воздуха, сквозняков. При охлаждении температуру образца фиксируют через каждые десять секунд по показаниям термопарного измерителя температур. По полученным данным определяют скорость охлажде-

ния образца t0 t для определенных температур (400, 300, 200 и 100 ). Для этого надо учесть изменение температуры образца за достаточно малые интервалы времени. Например, нужно измерить t0 t для температуры 100 .

По табл. 1 надо посмотреть значение t10 образца на 10 c раньше 100 и температуру t20 на 10 c позднее 100 . Тогда значение

t0 t10 t20

t 2 t

будет скоростью охлаждение образца при температуре 100 . Затем по формуле (9) вычисляют удельную теплоемкость образца. Операции, описанные выше, выполняют для всех трех образцов для заданного температурного интервала. Масса каждого образца приведена на установке.

37

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

Порядок выполнения работы

1.Ознакомиться с установкой и приборами.

2.Установить образец в печь

3.Вставить термопару в канал образца.

4.Включить печь через трансформатор в сеть с напряжением 220 В.

5.Нагреть образец до температуры 500 .

6.Отвести образец в сторону от печи. Начиная с температуры 450 , фиксировать температуру исследуемого образца через каждые 10 с до тех пор, пока она

не понизится до 80 .

7.Результаты измерений провести с тремя образцами, взяв медный образец за эталон. Полученные данные занести в табл. 1. При этом следует учесть, что время охлаждение любого образца составляет 10 –13 минут.

8.По данным табл. 1 построить на миллиметровой бумаге графики зависимости t0 = f (t) для каждого образца. По этим графикам для этих образцов определить

ветствующие колонки табл. 2.

9. По формуле (9) рассчитать удельную теплоемкость железного и алюминие-

вого образцов для температур 100, 200, 300 и 400 , используя при этом значения удельной теплоемкости меди для указанных температур (см. табл. 2). Построить на миллиметровой бумаге графики зависимости удельной теплоемкости от температуры всех трех образцов, т. е. с = f (t).

10. Сделать вывод по работе.

38

Таблица 1. Экспериментальные данные

Таблица 2. Расчетные данные

Контрольные вопросы

1.Дать определение удельной теплоемкости и теплоемкости твердого тела.

2.Что понимают под степенью свободы механической системы?

3.Записать формулу для нахождения средней энергии одноатомной молекулы.

4.Вывести закон Дюлонга и Пти.

5.Указать недостатки классической теории теплоемкости.

6.Как зависит теплоемкость твердого тела от температуры согласно формуле Дебая?

7.Выведите основное уравнение кинетической теории газов.

8.Изложите основные положения классической и квантовой теории теплоемкостей газов.

39

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА МЕТОДОМ КЛЕМАНА–ДЕЗОРМА

Цель работы: изучить основные процессы, протекающие в идеальном газе; определить Сp CV для воздуха.

Краткие теоретические сведения

Состояние газа массой m характеризуется следующими параметрами давление , объем V и температура T. Уравнение, связывающее эти величины, называется уравнением состояния вещества. Состояние идеального газа выражается уравнением Менделеева–Клапейрона:

где m – масса газа, R – универсальная газовая постоянная, М – молярная масса газа.

Согласно первому началу термодинамики количество теплоты δQ, переданное системе, затрачивается на увеличение ее внутренней энергии dU и работу δA, совершаемую системой против внешних сил. Запишем первое начало термодинамики для одного моля газа:

Разделив обе части уравнения (2) на dT, получим молярную теплоемкость газа

Молярной теплоемкостью газа называется количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля этого газа на 1 К.

Рассмотрим основные процессы, протекающие в идеальном газе, при условии, что его масса остается неизменной.

Изохорический процесс. Если при изменении температуры газа его объем остается постоянным, то процесс называется изохорическим. Он характеризуется тем, что = 0, = = 0 и ⁄ = const. В этом случае вся подводимая к газу теплота идет на увеличение его внутренней энергии. Из уравнения

(3) следует, что

40