Grishina

Выделим мысленно часть поверхности жидкости, ограниченную замкнутым контуром. Тенденция этого участка к сокращению приводит к тому, что он действует на граничащие с ним участки с силами, распределенными по всему контуру (по третьему закону Ньютона внешние участки поверхностного слоя действуют на рассматриваемую часть поверхности с силами такой же величины, но противоположного направления). Эти силы называются силами поверхностного натяжения. Обозначим силу поверхностного натяжения, приходящую на единицу длины контура, через α. Эту величину называют коэффициентом поверхностного натяжения. Измеряют ее в международной системе СИ в Н/м.

Предположим, что имеется прямоугольная рамка с подвижной перекладиной, затянутая пленкой жидкости (рис. 2). Пленка представляет собой тонкий плоский объем жидкости, ограниченный с двух сторон поверхностным слоем.

Рис. 2. Определение коэффициента поверхностного натяжения

Вследствие стремления поверхностного слоя к сокращению со стороны пленки, имеющей две поверхности, на перекладину будет действовать сила, равная2 l. Чтобы перекладина находилась в равновесии, к ней нужно приложить внешнюю силу , равную силе натяжения пленки, т. е. 2 l. Предположим, что перекладина переместилась в направлении силы F на очень малую величину dx . Этот процесс сопровождается совершением жидкостью над перекладиной работы

dA 2 ldx dS,

где dS – приращение площади поверхностного слоя.

Если процесс протекает очень медленно (обратимо), вследствие чего температура пленки остается неизменной за счет притока тепла извне, то для обратимого изотермического процесса совершаемая работа равна убыли свободной энергии

dA dS dE.

21

Полученный результат означает, что при изотермическом увеличении площади поверхностного слоя на dS свободная энергия жидкости возрастает на dE dS . Отсюда следует, что коэффициент поверхностного натяжения представляет собой дополнительную свободную энергию, которой обладает единица площади поверхностного слоя.

Величина, численно равная работе, которую надо совершить для увеличения поверхности жидкости на единицу площади, называется коэффициентом

поверхностного натяжения. В соответствии с этим α можно выражать не только в Н/м, но и в Дж/м2.

Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур (рис. 3 а). Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокращению приведет к возникновению дополнительного давления ∆ . Если поверхность выпуклая, то ∆ положительно (рис. 3 b), если поверхность вогнутая – ∆ отрицательно (рис. 3 с).

Рис. 3. Зависимость дополнительного давления от формы поверхности жидкости

Естественно предположить, что величина дополнительного давления должна зависеть от величины силы поверхностного натяжения жидкости и от степени искривленности ее поверхности, иначе говоря, от коэффициента поверхностного натяжения и радиуса кривизны поверхности . Характер зависимости тоже очевиден: дополнительное давление должно быть пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения и обратно пропорционально радиусу кривизны поверхности жидкости, т. е. величина добавочного давления возрастает с увеличением коэффициента поверхностного натяжения и уменьшением радиуса кривизны поверхности . Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости. Для этого рассечем мысленно сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью.

Из-за поверхностного натяжения обе части притягиваются друг к другу с

Дополнительное давление, создаваемое силами поверхностного натяжения внутри жидкости, равно

Точное выражение для дополнительного давления под жидкой искривленной поверхностью любой формы теоретически вывел в 1805 г. французский математик и физик Лаплас:

где знак плюс соответствует выпуклой поверхности, знак минус – вогнутой поверхности, R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности. В случае сферической поверхности R1=R2=R, поэтому, согласно формуле (3), дополнительное давление будет

В случае цилиндрической поверхности следует взять одно сечение поперек цилиндра, другое – вдоль его образующей. Тогда, очевидно, R1=R и R2→∞. Поэтому дополнительное давление будет

очень маленьких капелек, дополнительное давление может быть довольно значительным. Так для капельки воды радиусом R = 0,001 мм и = 73∙10 H/м

∆ = = 1,5∙10 Па.

На поверхностное натяжение жидкости большое влияние оказывают находящиеся в ней примеси. Например, мыло, растворенное в воде, уменьшает ее поверхностное натяжение с 0,075 H/м до 0,045 H/м.

Вещество, ослабляющее поверхностное натяжение жидкости, называется поверхностно-активным. По отношению к воде поверхностно-активными являются нефть, спирт, эфир, мыло и многие другие жидкости и твердые вещества.

С точки зрения молекулярной теории влияние поверхностно-активных веществ объясняется следующим образом. Силы притяжения между молекулами самой жидкости больше сил притяжения между молекулами жидкости и по- верхностно-активной примеси. Некоторые вещества увеличивают поверхностное натяжение жидкости в связи с тем, что их молекулы взаимодействуют с молекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой. Примером такого рода примесей могут служить сахар и соль. Таким образом, поверхность

23

мыльной воды будет состоять преимущественно из молекул мыла, поверхность водного раствора спирта из молекул спирта, а поверхность водного раствора сахара будет состоять преимущественно из молекул воды. Возвращаясь теперь к формуле (1), можно сказать, что уменьшение свободной энергии поверхности жидкости (или поверхностной энергии) может осуществляться двумя путями: во-первых, сокращением поверхности жидкости и, во-вторых, ослаблением коэффициента поверхностного натяжения с помощью поверхностно-активных веществ. В данной работе предлагается по изменению величины лапласовского давления определить значение коэффициента поверхностного натяжения исследуемой жидкости.

Экспериментальная часть работы

Схема лабораторной установки приведена на рис. 4.

Рис. 4. Схема экспериментальной установки

Установка состоит из трубки 1 с оттянутым кончиком (капилляром К). Трубка 1 вставлена в резиновую пробку, закрывающую сосуд 2 с исследуемой жидкостью. При этом кончик капилляра К должен соприкасаться с поверхностью жидкости. Верхний конец капилляра К открыт и выходит в окружающую среду. Тройник 3 соединяет воздушное пространство сосуда 2, аспиратора 4 и U-образный водяной манометр 5. С помощью манометра измеряют разность атмосферного давления и давления воздуха в сосуде 2.

Порядок выполнения работы

1. В аспиратор 4 налить воды до верхнего уровня.

24

2.Сосуд 2 и аспиратор 4 плотно закрыть резиновыми пробками.

3.Открыть кран аспиратора 4 так, чтобы вода из него выливалась медленной струйкой в сливной стакан. При этом в сосуде 2 создается разряжение. Под действием разности давлений p в исследуемую жидкость выдувается воз-

душный пузырек, который при некоторой величине этой разности отрывается от капилляра К.

4.В момент отрыва пузырька U-образным водяным манометром измерить разность давлений ∆ в миллиметрах водного столба. Эта разность давлений ∆ равна лапласовскому давлению.

5.Измерив разность давлений ∆ , по формуле (4) вычислить коэффициент поверхностного натяжения . Входящий в данную формулу радиус воздушного пузырька R в первом приближении можно принять равным радиусу капилляра К.

6.Опыт повторить не менее 5 раз. Численное значение радиуса капилляра указано на лабораторной установке.

7.Результаты измерений и вычислений занести в табл. 1.

8.Провести оценку точности измерений и сопоставить экспериментально полученное среднее значение коэффициента поверхностного натяжения для данной жидкости с ее табличным значением (исследуемой жидкостью является вода).

9.Сделать вывод по работе.

1.Каков физический смысл коэффициента поверхностного натяжения?

2.В каких единицах измеряется коэффициент поверхностного натяжения в СИ?

3.Каково значение коэффициента поверхностного натяжения жидкости при достижении ей критической температуры?

4.Вывести формулу Лапласа.

5.Какое соотношение между одним миллиметром водного столба и 1 Па?

6.Изменится ли коэффициент поверхностного натяжения воды, если в нее добавить спирт? Почему?

25

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА

Цель работы: экспериментально определить численное значение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха.

Краткие теоретические сведения

Воздух в основном состоит из азота (около 78 %) и кислорода (около 21 %). Другие газы (аргон, углекислый газ, водород и другие) содержатся в незначительном количестве. Линейные размеры молекул азота и кислорода со-

ставляют примерно 4 10 8 cм. В таком случае объем одной молекулы составляет примерно 10 23 cм. При нормальных условиях (t 0 0 C , = 760 мм рт.

(собственный объем молекулы и объем, приходящийся на одну молекулу), видно, что молекулы воздуха находятся на больших расстояниях друг от друга. Молекулы начинают взаимодействовать между собой лишь тогда, когда расстояния между ними становятся сравнимы с их собственными размерами. Отклонение траектории молекул от прямолинейности происходит только при достаточных их сближениях. Минимальное расстояние между центрами двух молекул, на котором под действием сил отталкивания происходит явление подобное удару, называется эффективным диаметром молекулы. Большое число соударений, испытываемое молекулой за секунду, объясняет факт медленного перемещения молекул в газах, хотя тепловые скорости молекул порядка сотен метров в секунду. За счет этих столкновений молекула непрерывно меняет направление своего движения. Расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными соударениями, называется длиной свободного пробега молекулы. Эта величина для различных молекул может сильно различаться. Даже для одной и той же молекулы от соударения к соударению она может меняться в очень широком интервале. Однако среднее значение этой величины для данного состояния газа является величиной постоянной. Средняя длина свободного пробега молекул зависит от числа молекул в единице объема газа. Кроме того, чем больше размер молекулы, тем меньше средняя длина свободного пробега. Основные количественные данные для определения длины свободного пробега молекул в газе и их эффективных диаметров можно получить из исследований явлений переноса, к которым относятся диффузия, теплопроводность, внутреннее трение (вязкость). В частности, из молекулярно-

26

где n – число молекул воздуха в единице объема (концентрация молекул). Концентрация молекул определяется из соотношения

где p0, T0, n0 – соответственно давление, температура и концентрация молекул воздуха при нормальных условиях, p и Т – соответственно давление и температура окружающего воздуха. Из уравнений (6) и (7) следует, что

Экспериментальная часть работы

На рис. 1 приведена схема экспериментальной установки для определения численного значения средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха.

Сосуд на 3/4 наполняется водой. Сверху в сосуд вставлен капилляр. Если открыть кран, то вода будет выливаться из сосуда. В то же время через капилляр в сосуд будет всасываться воздух. Поэтому капилляр будет той трубкой, через которую устанавливается течение воздуха в результате того, что разные ее концы будут находиться под разным давлением (верхний конец – под атмосферным, а нижний – меньше атмосферного). Для того, чтобы найти давление воздуха у нижнего конца капилляра внутри сосуда, учтем, что при установившемся течении воды через кран, давление воздуха внутри сосуда и давление столба внутри высотыh уравновешиваются атмосферным давлением воздуха

около крана: pвн gh pатм , откуда pатм pвн gh p .

Из приведенных уравнений видно, что перепад давлений на концах капилляра изменяется с высотой воды в сосуде по линейному закону. Поэтому необходимо взять средний перепад давлений

где h1 и h2 – высоты воды в сосуде в моменты времени, соответствующие началу и концу измерений, g – ускорение свободного падения, – плотность воды. Подставив (9) в (5), получим

Атмосферное давление p 1ghБ , где hБ – показание барометра (см рт. ст.), 1 – плотность ртути.

Рис. 1. Экспериментальная установка

Объем протекающего воздуха

V Dc2 h1 h2 ,

4

где Dc – диаметр сосуда.

С учетом этого средняя длина свободного пробега молекул воздуха будет определяться выражением

Все постоянные величины, входящие в уравнение (11), объединим и обозначим через К0 . Тогда

где

Порядок выполнения работы

1. Открыть кран установки. Дождавшись, когда вода начнет равномерно вытекать из сосуда, включить секундомер. Зафиксировать высоту уровня воды h1 по шкале на сосуде, соответствующую началу измерений.

2.Когда уровень воды в сосуде опустится на 2–3 см, остановить секундомер, одновременно перекрыть кран и отсчитать высоту уровня воды h2 .

3.Повторить измерения не менее 5 раз, меняя при этом либо высоту h1 , либо h2

. Результаты измерений занести в табл. 1.

4.Измерить температуру t0 и давление p (см рт. ст.) окружающего воздуха.

Записать данные в рабочую тетрадь.

5.Вычислить среднюю длину свободного пробега по формуле (12). Значения всех линейных параметров необходимо брать в сантиметрах. Радиус и длина капилляра, а также диаметр сосуда приведены на экспериментальной установке.

6.Определить среднее значение длины свободного пробега и вычислить погрешности измерений.

7.Используя среднее значение длины свободного пробега, по формуле (8) определить эффективный диаметр молекулы воздуха. Концентрацию молекул

воздуха при нормальных условиях n0 принять равной 2,69 1019 см3 . 8. Сделать вывод по работе.

Контрольные вопросы

1.Что такое средняя длина свободного пробега и эффективный диаметр молекул?

2.Объясните формулу Пуазейля. Что она выражает?

3.Как определяется средняя длина свободного пробега молекул воздуха и их эффективный диаметр?

4.Объясните работу экспериментальной установки.

30