Голобородько Е.И. - Переходные процессы

2

УДК 621.3 (076)

ББК 31.211 я7 П 27

Рецензент кандидат технических наук, доцент кафедры «Электропривод и автоматизация промышленныхустановок» Александр Михайлович Крицштейн. Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета.

Переходные процессыв простых электрических цепях:

П27 методические указания и контрольные задания к расчетно-графическим работам для студентов неэлектротехнических специальностей /сост. Е. И. Голобородько. – Ульяновск: УлГТУ, 2006. – 40 с.

Учебный материал методических указаний предусмотрен действующими Государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования для студентов специальностей 140104, 151001, 190201, 230101, 280202, 200103. Учитывая трудности с освоением студентами рассматриваемого учебного материала и очень сжатым изложением его в стандартных учебниках по электротехнике и электронике, составитель ввел в примеры теоретическую часть, которая в известной мере может служить конспектомлекций по этому разделу.

Работа подготовлена на кафедре «Электроснабжение» цикл ТОЭ и ОЭ.

УДК 631.3 (076) ББК 31.211 я7

©Е. И. Голобородько, составление, 2006

©Оформление. УлГТУ, 2006

3

ВВЕДЕНИЕ

До сих пор мы изучали установившиеся режимы электрических цепей, не очень акцентируя слово «установившиеся», так как отличать эти режимы было не от чего. Других режимов мы не знали. Считали, что если мы подключили конденсатор, например, или катушку под постоянное напряжение, то ток через конденсатор не идет, а индуктивность катушки не представляетсопротивления постоянному току, и ток через катушку ограничивается только ее активным сопротивлением. Однако все это справедливо только через бесконечно долгое время после подключения. На самом деле, чтобы через конденсатор не протекал ток, надо, чтобы на нем накопился заряд, создающий напряжение, препятствующее протеканию тока. А для этого заряд на конденсаторе должен накопиться, то есть какое-то время должен протекать ток, заряжающий конденсатор (теоретически бесконечно длительного, так как по мере увеличения заряда ток постоянно убывает, стремясь к нулю). И с катушкой не все так просто. Если до подключения ее к источнику в ней не было тока, то

Теоретически это время тоже бесконечно большое, так как по мере увеличения тока uL , а, следовательно, и скорость увеличения силы тока постоянно уменьшается, стремясь к нулю.

Сила тока через катушку и через конденсатор в рассмотренных случаях меняется по экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к своим новым установившимся значениям, и называются в этот период времени переходными. Да и весь процесс перехода от старого установившегося состояния к новому называется переходным. Несмотря на теоретически бесконечную длительность переходного процесса, значения токов и напряжений в большинстве практических случаев довольно быстро, за сотые, а иногда и за миллионные доли секунды, успевают приблизиться к новым установившимся значениям на 99% и ближе, и с этого времени процесс, с достаточной для большинства практических случаев точностью, можно считать установившимся и рассчитывать его по формулам расчета установившегося процесса. Обычно время это принимаютравным 5τ, где τ – постоянная времени цепи, равная времени, за которое разница между новым и старым установившимися значениями токов или напряжений уменьшается в е раз, где е

– основание натуральных логарифмов. Как нетрудно подсчитать за 5τ эта разница уменьшится в e5 =148 раз и составляет 0,67% от исходной. Такая погрешность для большинства расчетов вполне допустима. Однако сила тока и напряжения сразу (в первый момент) после коммутации могут сильно, иногда

4

во много раз отличаться от силы токов и напряжений в установившихся режимах, и их надо уметь рассчитывать.

В расчетах чаще всего используются известные законы Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС. В соответствии с ними составляют уравнения, которые в общем случае оказываются интегродифференциальными. При их решении появляются постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий (значений токов и напряжений в начале переходного процесса). Начальные значения токов и напряжений помогают определить законы коммутации, говорящие о том, что ток через индуктивность и напряжение на емкости не могут изменяться скачком. Это мы только что обсуждали. Из этих законов следует, что ток через индуктивность в первый момент после коммутации такой же, каков он был в последний момент перед коммутацией. То есть, если мы сумели рассчитать этот ток в прежнем установившемся режиме, то мы знаем его и в первый моментпосле коммутации. Так жеобстоитдело и с напряжением на емкости.

В ходе решения можно усмотреть некоторые привычные для физиков и электротехников ситуации, которыми им легче и привычней оперировать, чем отвлеченными математическими понятиями. Так же как, например, в классическом методе для электротехника значительно привычней и «физичней» понятие расчета установившегося процесса, чем частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Этим и объясняется соответствующая замена терминов в учебниках электротехники.

Такой подход к расчету переходного процессаназывается классическим. Второй метод расчета переходных процессов (операторный) с точки зрения математики сводится к методу решения интегро-дифференциальных

уравнений с применением преобразования Лапласа.

В результате преобразования Лапласа напряжение на индуктивности и

Оставшиеся выражения выглядят точно так же, как комплексные токи и напряжения на индуктивности и емкости в цепях синусоидального тока при расчетах комплексным (символическим) методом, с той лишь разницей, что вместо jω в комплексном методе здесь записана буква р и вместо знака подчеркивания, обозначающего комплексную величину, в скобках указано, что это функции какого-то аргумента р.

Теперь эти выражения очень похожи на выражения следствия из закона Ома только не в комплексной, а в операторной форме, где рL и 1/pC играют роль операторных сопротивлений при операторном токе I(p).

Здесь уместны еще два замечания.

5

Если на схеме вместо емкостей и индуктивностей записать их операторные сопротивления операторным переходным токам (такую схему называют операторной схемой цепи), то к такой схеме могут быть применены не только закон Ома, но и законы Кирхгофа в операторной форме, и все методы, основанные на них: метод контурных токов, метод преобразования и другие, известные из теории цепей постоянного тока.

Второе замечание касается того, что уравнения, составленные в соответствии с этими законами и методами, оказываются алгебраическими, а не интегро-дифференциальными. Это вселяет надежду, что без привлечения высшей математики решения пройдут более гладко и просто. Чем это оборачивается, студент сможет увидеть на примерах решений, приведенных далее, и на решениях, которые ему предстоитпровести самостоятельно, хотя во многих случаях применение операторного метода вполне оправдано.

Едва ли не основные трудности ожидают решающего при обратном переходе от операторных токов и напряжений к реальным функциям времени. Ведь решая операторные уравнения, мы находим пока только операторные изображения истинных токов. Для обратного перехода существует формула обратного преобразования Лапласа. Преобразование по этой формуле довольно громоздко, поэтому чаще используют так называемую теорему разложения. Кроме того, как и для часто встречающихся интегралов, разработаны и изданы довольно полные справочники прямых и обратных преобразований Лапласа, по которым можно, не тратя труда на вычисления, найти соответствия между операторной формой тока, например, и его функцией времени.

1. ЗАДАНИЕ

На рисунках (рис. 1. – рис. 50.) представлены схемы 50 вариантов задания. Во всех вариантах числовые данные одинаковы:

R1 = 50 Ом; R2 =10 Ом; L =0,2 Гн; C =1500 мкФ; f = 50 Гц;

E0 = 10 В; E =14,2 В(действующее значение синусоидальной ЭДС) . Если схема не содержит индуктивности или емкости, соответствующие

числовые данные не используются.

Начальные фазы ЭДС для цепей, содержащих индуктивность ψе = 170°, а для цепей, содержащих емкость ψе = –30°. Начальное напряжение на конденсаторе в схеме(рис. 22) uc (0) = 5 B.

Если схема содержит оба реактивных элемента, то из исходных данных берется значение только того элемента, который остается включенным после коммутации, а значение второго определяется условием резонанса этих элементов в докоммутационном режиме на частоте 50 Гц. Собственно значение второго элемента в этом случае нет необходимости определять. Достаточно использовать само условие резонанса.

В полном объеме задание состоит из расчета переходного тока и напряжения на реактивном элементе классическим методом с использованием метода наложения, то есть рассчитывается сначала переходный процесс от действия только постоянной ЭДС. Для него строится график, на котором

6

показан ток не задолго до коммутации, свободная и принужденная составляющие тока после коммутации и весь переходный ток как сумма свободной и принужденной составляющих. Все это изображается в одной системе координат i(t). В другой системе координат u(t) такие же графики строятся для напряжения на реактивном элементе.

Все повторяется при расчете переходного процесса от действия синусоидальной ЭДС.

На последних двух рисунках изображаются графики переходных токов на одном и напряжений на другом от совместного действия постоянной и переменной ЭДС. Фактически это повтор графиков переходных токов и напряжений из предыдущих рисунков и их алгебраические суммы, как результатвоздействия обеих ЭДС.

Расчетповторяется операторным методом.

Преподаватель может сам ограничить объем работы, заданный студенту, например, исключив расчет и построение графиков переходных напряжений для схем с индуктивностью и токов для схем с емкостью.

При слабой подготовке или жестком лимите времени может быть задан расчет только одним из методов или даже предоставлена возможность студенту выбрать метод по своему усмотрению.

Преподаватель может изменить и цифровые исходные данные. Однако с этим надо быть осторожным, так увеличение индуктивности, например, уменьшает отличия между старым и новым установившимся режимами и приводит к уменьшению свободных составляющих переходного процесса, к уменьшению его наглядности в решении. Уменьшение же индуктивности приводит к уменьшению постоянной времени цепи, которая будет охватывать слишком малую часть периода синусоидального колебания.

Независимо от объема задания студенту полезно разобрать все предложенные в методических указаниях примеры решения и построения графиков. Это не только поможет осмысленному овладению практикой решения, но и усвоению теоретического материала данного раздела курса.