Голобородько Е.И. - Переходные процессы
.pdf
11
R1 |
R2 |
С |
|
R1 |
R2 |
С |
|
E0 |
|
е(t) |
E0 |
|
|
|
е(t) |
k |
R3=R1 |
|
k |
R |
=R |
||
|
|
|
|
|
3 |
R41=R2 |
|
Рис. 41 |
|
|
|
Рис. 42 |
|
|
|
R1 |
L |
R2 |
E0 |
R2 |
|
|
L |
E0 |
|
е(t) |
|
k |
R1 |
е(t) |
|
|
|
R3=R1 |
|
|
|
||
R3=R1 |
|
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 43 |
|
|
|
Рис. 44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R1 |
R2 |
L |
|
е(t) |
|||
E0 |
|||
|
k |
|
|
|
Рис. 45 |
|
|
R1 |
R2 |
Lе(t) |
|
E0 |
k |
|
|
R3=R2 С |
|||
|
|||
|
Рис. 47 |
|
|
R1 |
k С |
L |
E0 |
R2 |
е(t) |
|
Рис. 49
R1 |
R2 |
С |
|
E0 |
е(t) |
||
|
|||
k |
R3=R1 |
||
|
|
R4=R2 |
|
|
Рис. 46 |
|
|
R1 |
k |
L С |
|
E0 |
R2 |
е(t) |
|
|
|||
Рис. 48
R1 L R2
E0 |
е(t) |
|
С |
||
|
||
|
k |
|
|
Рис. 50 |
12
2. ПРИМЕР ЦЕПИ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ
Дана схема, в которой сопротивление R4 замыкается ключом k. Значения сопротивлений R4 = R1 = 50 Ом, R3 = R2 = 10 Ом, индуктивности L = 0,2 Гн, постоянной ЭДС Е0 = 10 В, действующее значение синусоидальной ЭДС Е = 14,2 В, ее начальная фаза ψe = 170˚.
|
R1 |
R3=R2 |
R2 |
|
|
е(t) |
|
E |
0 k |
R |
|
|
R4= 1 |
L |
|
|
|
|
|
Рис. 51. Схема цепи с индуктивностью
2.1. Решение классическим методом
Будем |
искать |
переходный |
ток |
в |
реактивном |
элементе, |
т. е. в индуктивности с использованием метода |
наложения. |
Последний |
||||
заключается в том, что находят токи в заданной |
ветви, создаваемые по |
|||||
отдельности каждой ЭДС. Затем находятих алгебраическую сумму. |
|
|||||
2.1.1. Определение силы переходного тока отдействия постоянной ЭДС
Исключаем действие синусоидальной ЭДС. Полученную схему будем рассчитывать методом контурных токов. Выбираем и обозначаем кривыми стрелками на схеме направления контурных токов, совпадающие с направлениями обхода контуров.
i=1 |
R1 |
|
R3=R2 |
R2 i=2 |
|
i=11 |
|
||
|
|
i=22 |
|
|
|
E0 |
k |
R |
|
|
|
R4= 1 |
L |
|
|
|
|
|
Рис. 52. Схема с исключенной синусоидальной ЭДС
Все величины, рассчитываемые для этой схемы будем снабжать верхними индексами « = », то есть относящиеся к схемес включенной постоянной ЭДС.
Заметим, что контурный ток i=22 совпадаетс током вовторой ветви i=2 . Составим систему уравнений по методу контурных токов для
послекоммутационного режима.
13
|
|
|
|
|
i = |
(R + R |
) −i |
= R = E |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
22 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
−i= R |
3 |
+ i= |
(R |
2 |
+ R |
) + L |
di22= |
= 0. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
22 |
|
|
3 |
|
|
|
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выразив из первого уравнения i11= и подставив его в первое слагаемое |
|||||||||||||||||||||||||
второго уравнения системы, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
− |
E0 R3 |
− |
|
i22= R32 |
|
+i22= (R2 |
+ R3 ) + L |
di22= |
= 0 |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
R1 + R3 |
|
||||||||||||||||||||
откуда |
R1 + R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||||||
|
di22= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R32 |
|
|
|
|
|
E0 R3 |
|
|
|||||
|
L |
+(R2 |
+ R3 |
− |
|
|
|
) i22= |
= |
. |
(1) |
||||||||||||||
|
|
R1 + R3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + R3 |
|
|||||||||||
Решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения (с нулем в правой части) и частного решения неоднородного уравнения. В электротехнике чаще используются другие названия этих слагаемых: свободная и принужденная составляющая тока. Используя терминологию электротехников, мы будем иметь решение в виде i = =iсв= +iпр= . За принужденную составляющую с точки
зрения электротехники можно принять ток в установившимся режиме, протекающий под действием постоянной ЭДС.
Учитывая, что установившийся ток от постоянной ЭДС должен быть тоже постоянным, а индуктивность не оказывает сопротивления постоянному току, принужденную составляющую найдем достаточно просто, используя школьные знания о расчете цепей постоянного тока. Ведь схема сильно упрощается.
i=1пр R |
|
|
|
|
|
|
R2 i=2пр= i=пр |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R3=R2 |
||
|
|
|
|
|
|||
E0
Рис. 53. Схема для расчета принужденной составляющей тока во второй ветви от действия постоянной ЭДС
Находим сопротивление R23 |
параллельного соединения сопротивлений R2 |
||||
и R3 . Получаем |
R23 = |
R2 R3 |
= |
10 10 |
= 5 [Ом]. |
R2 + R3 |
|
||||
|
|
10 +10 |
|
||
Общее сопротивление цепи для постоянного тока, потребляемого от |
|||||
источника постоянной ЭДС R= |
= R + R |
=50 +5 = 55 [Ом]. |
|||
|
|
общ |
1 23 |
|
|
14
Установившееся |
значение |
(принужденная |
составляющая) |
тока, |
||||||
потребляемого отисточника постоянной ЭДС i = = |
E0 |
= |
10 |
= 0,182 [А]. |
|
|||||
Rобщ= |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1пр |
55 |
|
|
||
Напряжение на участке с параллельным соединением сопротивлений R2 и |
||||||||||
R3 равно u23= = i1=пр R23 |
= 0,182 5 = 0,91 [В]. |
|
|
|
|
|
||||
Инаконец, принужденная составляющая тока во второй ветви |
|
|||||||||
i2=пр = iL=пр = iпр= = |
u23= |
= |
0,91 |
= 0,091[А]. |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь переходим к определению свободной составляющей тока. Для этого перепишем сначала дифференциальное уравнение (1) с учетом того, что свободный член должен отсутствовать, а свободная составляющая тока во второй ветви будетобозначаться как iсв= .
|
diсв= |
|
|
R32 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L dt |
+ R3 − R + R |
iсв = 0 . |
|||||
+ R2 |
|
||||||
|
|
|
1 3 |
|
|
||
Упростим его, преобразовав выражение в скобках и обозначив его Rα .
L |
diсв= |
+ |
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 |
i = |
= L |
diсв= |
+ R i= |
= 0. |
|
dt |
|
dt |
|||||||
|
|
|
св |
|
α |
св |
|
||
|
|
R1 + R3 |
|
|
|
|
|||
Запишем для него характеристическое уравнение Lα + Rα =0 |
|||||||||
и найдем его корень α = − |
Rα |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L |
50 10 +10 10 +10 50 |
|
|||
Произведем вычисления: R = |
=18,33[Ом]; |
|||||
|
||||||
|
|
α |
50 |
+10 |
|
|
|
|
|
|
|||
α = −18,3 0,2
Теперь свободную составляющую можно бы вычислять для каждого момента времени по формуле iсв= = A eαt , однако пока мы еще не знаем, чему равна постоянная интегрирования A .
Переходный ток во второй ветви, обусловленный действием постоянной ЭДС, выражается теперь формулой
i = =iсв= + iпр= = A eαt +iпр= .
Если мы знаем значение этого переходного тока в какой-то момент времени, то, подставив это значение в левую часть последнего равенства и соответствующее значение времени вместо t в правой части равенства, будем иметь лишь одно неизвестное – A , которое легко определим.
Вспомним первый закон коммутации: «Ток через индуктивность не может измениться скачком». Ведь это означает: какое значение силы тока было в последний моментдо коммутации, такое же значение силы тока будетв первый момент после коммутации. Иными словами, рассчитав ток до коммутации, мы будем знать силу тока при t = 0 и после коммутации. Что ж это сделать не намного сложнее, чем найти значение силы тока в установившемся
15
послекоммутационном режиме. Только теперь вместо сопротивления R3 в формулах у нас будетфигурировать значение сопротивления третьей (средней)
ветви бывшее до коммутации R3 + R4 . |
|
|
||
Сила тока до коммутации была равна i = (0)− |
=0,146 A . Проверьте. |
|||
Заметив, что при |
t =0 |
i = (0) = iсв= (0) +iпр= |
= A +iпр= , |
найдем значение |
постоянной интегрирования |
A =i = (0) −iпр= = 0,146 −0,091 = 0,055 [A]. |
|||
Весь переходный ток от действия постоянной ЭДС теперь выражается |
||||
формулой i = =iсв= +iпр= |
= A eαt |
+iпр= = 0,055e−91.7t +0.091[A]. |
|
|
2.1.2. Расчетсилы переходного тока отдействия синусоидальной ЭДС
Уберем из исходной схемы постоянную ЭДС.
R1 |
R |
= |
|
R2 |
R≈ |
i |
≈ |
|
|
3 R2 |
|
общ |
|
||
|
|
|
|
е(t) |
е(t) |
|
|
k |
|
R |
1 |
|
|
|
|
R4= |
L |
|
L |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 54. Схема цепи без источника |
Рис. 55. Схема после замены групп |
||||||
постоянной ЭДС |
|
активныхсопротивлений |
|||||
|
|
|
|
|
однимэквивалентным |
||
Оставшаяся цепь как до, так и после коммутации легко сводится одному контуру, в который входит синусоидальная ЭДС, индуктивность и несколько активных сопротивлений, которые можно заменить одним по известным еще из школы правилам преобразования.
До коммутации это эквивалентное активное сопротивление равно
R≈ |
= R + |
R1 (R3 |
+ R4 ) |
=10 + |
50 (10 +50) |
= 37,3[Ом], |
|||
|
|
|
|
||||||
общ− |
2 |
R1 + R3 |
+ R4 |
50 +10 +50 |
|
||||
|
|
|
|||||||
а послекоммутации |
|
|
|
|
|||||
R≈ |
= R + |
R1 R3 |
=10 + |
50 10 |
=18,3[Ом]. |
||||
R1 + R3 |
|
||||||||
общ+ |
2 |
50 +10 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
Реактивное |
сопротивление |
индуктивности в обоих случаях равно |
|||||||
XL = ωL = 314·0,2 = 63 [Ом].
Задачу определения полного сопротивления цепи, а затем тока можно решать комплексным методом, однако схема достаточно проста, чтобы провести расчет, не прибегая к этим усложнениям.
16
Найдем полное сопротивление цепи по известной формуле для последовательного соединения элементов в цепи синусоидального тока и сдвиг фаз между током и напряжением на этом сопротивлении
Z |
+ |
= |
R2 |
|
|
+(ωL)2 = |
18,32 |
|
+632 |
= 65,5[Ом], |
|||||
|
|
общ+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 73,1[Ом], |
|||
Z |
− |
= |
R2 |
|
|
+ (ωL)2 = |
37,32 |
+ 632 |
|||||||
|
|
общ− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕ+ |
=arctg |
|
|
ωL |
|
=arctg |
|
63 |
|
=73,8°, |
|||||
|
Rобщ+ |
18,3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ϕ− |
= arctg |
|
|
ωL |
|
= arctg |
63 |
|
= 59,3°. |
||||||
|
|
Rобщ− |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
37,3 |
|
|
|||||
Установившееся значение тока до коммутации и после коммутации найдем, поделив амплитуду ЭДС на соответствующее сопротивление и отняв отаргумента докоммутационный и послекоммутационный сдвиг фаз
i(t) −≈уст |
= |
E≈ |
2 sin(ωt +ψe |
−ϕ− ) = |
14,1 |
2 sin(ωt +170°−59,3°) , |
|
|
Z− |
|
|
73,2 |
|
или |
|
i(t) −≈уст = Im − sin(ωt +ψi − ) = 0,273 sin(ωt +110°) [A]; |
||||
i(t) +≈уст |
= |
E≈ |
2 sin(ωt +ψe |
−ϕ+ ) = |
14,1 |
2 sin(ωt +170° −73,8°) , |
|
|
Z+ |
|
|
65,5 |
|
или |
|
i(t) +≈ |
уст = Im + sin(ωt +ψi + ) = 0,305 sin(ωt + 96,2°) [A]. |
|||
Обратите внимание на амплитуды колебаний до и после коммутации. Они нам еще потребуются для вычисления постоянной интегрирования и значений переходного тока и для построения графиков.
Составляем дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа для
послекоммутационного режима. |
|
|
L di≈ + Rобщ+i ≈ =e(t) = E≈ |
2 sin(ωt +ψe ) . |
|
dt |
|
|
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде суммы |
||
принужденной и свободной |
составляющих |
i≈ =iсв≈ +iпр≈ . Принужденная |
составляющая у нас уже найдена как установившаяся сила тока после коммутации i+≈уст = iпр≈ . Теперь будем искать свободную составляющую,
освободив уравнение отЭДС.
L |
diсв≈ |
+ Rобщ+iсв≈ = 0 . |
|
dt |
|||
|
|
Составим для этого дифференциального характеристическое уравнение.
Lα + Rобщ+ =0 . |
Отсюда α = − |
Rобщ+ |
= − |
18,3 |
= −91,5[c−1 ]. |
|
L |
0,2 |
|||||
|
|
|
|
Далее фактически повторяются действия уже рассмотренные на первом этапе – этапе расчета силы тока отдействия постоянной ЭДС.
17
Сила тока при коммутации не может измениться скачком и потому в начальный момент времени после коммутации равна силе тока в последний момент времени перед коммутацией. Формула для докоммутационного тока у нас уже получена, так что, положив в ней t =0 , будем знать, чему равна сумма свободной и принужденной составляющих силы тока в первый момент после коммутации т. е. при t = 0 :
i−≈ (0) = iсв≈+ (0) +iпр≈ + (0) или Im − sin(ψe −ϕ− ) = Ae j 0 + Im + sin(ψe −ϕ+ ) .
Отсюда A = Im− sin(ψi − ) − Im + sin(ψi + ) = 0,256 −0,304 = −0,048 [A].
Получаем решение относительно переходного тока, вызванного действием переменной ЭДС:
i ≈(t) = Aeαt + Im + sin(ωt +ψi + ) ,
i ≈(t) = −0,048e−91,5t +0,305 sin(314,16 t +96.25 3.1416 /180) [A], i≈ (t) = −0,048e−91, 5t + 0,305 sin(360° 50 t +96.25°) [A].
Под знаком синуса показано в последней строчке выражение для вычисления угла в градусной мере, ав предпоследней в радианах.
2.1.3. Графики переходных процессов
Покажем на графике свободную и принужденную составляющие силы тока от действия переменной ЭДС, а также их сумму, то есть переходный ток от действия этой ЭДС.
И, наконец, построим график силы переходного тока от действия каждой отдельной ЭДС и обеих ЭДС совместно. При этом обратим внимание на то, что положительное направление тока от действия постоянной ЭДС мы выбирали согласно направлениям самих ЭДС. Так было понятней проводить вычисления токов, однако теперь нам надо свести две картины в одну и выбрать одно направление тока для окончательного ответа. Выберем его согласно стрелке, изображенной на переменной ЭДС, тогда ток, созданный постоянной ЭДС, будет течь против выбранного нами положительного направления, и мы должны сменить знак перед полученным для него решением, прежде чем соберемся складывать эти два тока. Иными словами, будем считать ток, текущий против окончательно выбранного нами положительного направления, отрицательным.
Период синусоидальной ЭДС составляет 1/50 секунды или 20 мс. Чтобы построить кривую с таким периодом, надо иметь, по крайней мере, 10 точек на периоде, что будет соответствовать вычислениям значений через 36 градусов изменения фазы колебания. Построение пройдет тем точнее, чем меньше выберем шаг для вычисления значений.
18
Таблица 1 Значения переходных токов и их составляющих при действии постоянной, синусоидальной ЭДС и при их совместном действии, а также токов в докоммутационный период
|
Постоянная ЭДС |
|
|
Синусоидальная ЭДС |
|
Обе ЭДС |
|||||
t |
|
i(t) |
i_св |
|
i_пр |
|
i(t) |
i_св |
i_пр |
|
i(t)_общ |
мс |
|
А |
А |
|
А |
|
А |
А |
А |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
0,146 |
|
|
|
|
-0,256 |
|
|
|
-0,402 |
-8 |
|
0,146 |
|
|
|
|
-0,150 |
|
|
|
-0,296 |
-6 |
|
0,146 |
|
|
|
|
0,013 |
|
|
|
-0,133 |
-4 |
|
0,146 |
|
|
|
|
0,171 |
|
|
|
0,025 |
-2 |
|
0,146 |
|
|
|
|
0,264 |
|
|
|
0,118 |
0 |
|
0,146 |
0,055 |
|
0,091 |
|
0,256 |
-0,048 |
0,304 |
|
0,110 |
2 |
|
0,137 |
0,046 |
|
0,091 |
|
0,187 |
-0,040 |
0,227 |
|
0,050 |
4 |
|
0,129 |
0,038 |
|
0,091 |
|
0,029 |
-0,033 |
0,063 |
|
-0,100 |
6 |
|
0,123 |
0,032 |
|
0,091 |
|
-0,153 |
-0,028 |
-0,125 |
|
-0,276 |
8 |
|
0,117 |
0,026 |
|
0,091 |
|
-0,288 |
-0,023 |
-0,265 |
|
-0,406 |
10 |
|
0,113 |
0,022 |
|
0,091 |
|
-0,323 |
-0,019 |
-0,304 |
|
-0,436 |
12 |
|
0,109 |
0,018 |
|
0,091 |
|
-0,243 |
-0,016 |
-0,227 |
|
-0,352 |
14 |
|
0,106 |
0,015 |
|
0,091 |
|
-0,076 |
-0,013 |
-0,063 |
|
-0,182 |
16 |
|
0,104 |
0,013 |
|
0,091 |
|
0,114 |
-0,011 |
0,125 |
|
0,010 |
18 |
|
0,102 |
0,011 |
|
0,091 |
|
0,256 |
-0,009 |
0,265 |
|
0,154 |
20 |
|
0,100 |
0,009 |
|
0,091 |
|
0,297 |
-0,008 |
0,304 |
|
0,197 |
22 |
|
0,098 |
0,007 |
|
0,091 |
|
0,221 |
-0,006 |
0,227 |
|
0,123 |
24 |
|
0,097 |
0,006 |
|
0,091 |
|
0,058 |
-0,005 |
0,063 |
|
-0,039 |
26 |
|
0,096 |
0,005 |
|
0,091 |
|
-0,129 |
-0,004 |
-0,125 |
|
-0,225 |
28 |
|
0,095 |
0,004 |
|
0,091 |
|
-0,269 |
-0,004 |
-0,265 |
|
-0,364 |
30 |
|
0,095 |
0,004 |
|
0,091 |
|
-0,307 |
-0,003 |
-0,304 |
|
-0,402 |
В первых шести строках таблицы 1 показаны токи отдействия постоянной, синусоидальной и обеих ЭДС до коммутации. Вэтих же столбцах i(t) , начиная с t = 0 даются значения переходных токов после коммутации для соответствующих моментов времени.
19
|
|
|
|
|
|
i, A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t)- |
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i_пер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i_св |
|
|
|
i_пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
0 |
10 |
|
20 |
|
|
t, мс |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 56. Графики токов при действии постоянной ЭДС
i, A 0,4
0,2
i(t)- |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-10 |
0 |
i_св |
10 |
20 |
t, мс |
|
i_пр |
i_пер |
|
|
|
|
-0,2 |
|
|
|
|
|
-0,4 |
|
|
|
|
Рис. 57. Графики токов от действия синусоидальной ЭДС
|
|
|
20 |
|
|
|
i, A |
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
-0,4 |
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
i_общ(t)- |
i_пер_cин |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
i_пер_пост |
|
|
-10 |
0 |
10 |
20 |
t, мс |
|
|
-0.2 |
|
i_пер_общ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.4 |
|
|
|
|
|
Рис. 58. Графики токов от совместного действия постоянной и синусоидальной ЭДС |
||||