Голобородько Е.И. - Переходные процессы

sin(ωt +ψ ) =

psinψ +ωcosψ

.

p 2

+ω2

Поскольку нам задано действующее значение ЭДС, чтобы получить

амплитудное

значение,

его

надо

умножить

на

2 ,т.е.

Em = E 2 =14,2 2 =20

[B].

Теперь

операторное

изображение

синусоидальной

ЭДС

e(t) = Em sin(ωt +ψ)

можно записать так:

E( p) = Em

p sinψ +ωcosψ

.

p2 +ω2

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи (рис.59.) в

операторной форме.

p sinψ +ωcosψ

I ≈( p) Rобщ≈ + I ≈ ( p) pL = Li ≈(0) + Em

.

p2 +ω2

Выразим отсюда операторное изображение тока:

I ≈( p) =

Li ≈(0)

+

Em p sin(ψ )

+

Em ω cos(ψ)

.

Rобщ≈

+ + pL

(Rобщ≈

+ + pL) ( p2

+ω2 )

( Rобщ≈

+ + pL) ( p2

+ω2 )

22

Приведем правую часть к общему знаменателю.

I ≈( p) =

Li≈ (0) p 2 + Li≈ (0) ω2

+ Em p sin(ψ) + Emω cos(ψ)

.

( Rобщ≈

+ + pL) ( p2

+ω2 )

Операторное изображение силы переходного тока найдено. Теперь надо

воспользоваться теоремой разложения,

чтобы найти силу тока как функцию

времени.

Известно, что если изображение функции (в нашем случае тока) имеетвид

дроби I (p) =

G( p)

с полиномами G( p) и

H ( p)

параметра p в числителе и

H ( p)

знаменателе,

то решение выглядиткак суммаслагаемых вида

i(t) = kΣ=n

G( pk )

e pk t

,

H ′( pk )

k =1

где

G( pk ) – полином, находящийся в числителе изображения функции с

подставленным в него вместо

p k-м корнем полинома,

стоящего в знаменателе

изображения функции,

а

H ′( pk )

–

производная

полинома, находящегося в знаменателе,

в

который вместо p

подставлен тотже корень

p k .

Приступим к применению теоремы разложения. Прежде всего, представим

знаменатель полиномом и возьмем отнего производную по

p

′

≈

p

2

≈

2

+ p

3

L + pLω

2

)

′

=3p

2

≈

2

.

H ( p) =(Rобщ+

+ Rобщ+ω

L + 2Rобщ+ p + Lω

Теперь найдем корни самого полинома

H ( p) = (Rобщ≈

+

+ pL)( p 2

+ω2 ) . Для

этого надо определить,

при каких значениях параметра

p он обращается в

p1 =−

R≈

ноль. Приравняв

нулю

выражение в

первой

скобке, получим

общ+

.

Обратите

внимание

на

то,

что

p1

точная

копия

выражения

для

L

из

α

еще два корня p2 = + −ω2 = jω

и p3

= − −ω2

= − jω.

Найдем первое слагаемое из формулы теоремы разложения.

(R≈

)2

R

≈общ

Li≈ (0)

общ+

+

Li≈(0)ω2

+ Em −

sin(ψ) + Emω cos(ψ )

G( p )

L2

p1t

L

αt

1

e

=

e

.

H ′( p1 )

3

( Rобщ≈

+ )2

−2

( Rобщ≈

+ ) 2

+ω2 L

L

L

G( p1 )

p1t

( Rобщ≈

+ ) 2 i≈ (0) +i≈ (0)ω2 L2 −Em Rобщ≈ + sin(ψ) + Em ωL cos(ψ)

αt

e

=

e

H ′( p1 )

(Rобщ≈

+ )2 +ω2 L

G( p )

= i

(0) +

−Em Rобщ≈ + sin(ψ) + Em ωL cos(ψ)

e

.

H ′( p1 ) e

p1t

≈

(Rобщ≈

+ )2 +ω2 L

1

αt

Учтем, что (Rобщ≈

+ )2

+(ωL)2

= Z 2

= Z Z ,

а также что

ωL

= sin(ϕ)

и

Rобщ≈

+

=cos(ϕ) ,

тогда можно записать

Z

Z

G( p )

e

(0)

+

E

ωL cos(ψ) − Rобщ≈

+ sin(ψ )

e

1

p

1t

= i

≈

m

αt

H ′( p1 )

Z

Z

или

G( p1 )

e p1t

= (i≈ (0) + Im

(sin(ϕ) cos(ψe ) −cos(ϕ) sin(ψe ))) eαt ,

H ′( p1 )

используя известную из тригонометрии формулу, получим

G( p1 )

e p1t

= (i≈ (0) + Im

sin(ϕ −ψe )) eαt

= (i≈ (0) − Im sin(ψi )) eαt .

H ′( p1 )

Теперь перейдем к вычислению второго и третьего слагаемых в формуле

разложения.

G( p

)

e p2t =

−Li ≈(0)ω2

+ Li≈ (0)ω2

+ E

m

jω sin(ψ

e

)

+ E

ωcos(ψ

e

)

e jωt ;

2

m

H ′( p2 )

−3ω2 L + 2 jωRобщ≈

+ +ω2 L

G( p

)

p t

− Li≈( 0)ω2

+ Li≈ (0)ω2

−E

m

jω sin(ψ

e

)

+ E ωcos(ψ

e

)

3

e 3

=

m

e− jωt .

H ′( p3 )

−3ω2 L −2 jωRобщ≈

+ +ω2 L

все

единой дробью. Числитель при этом разрастется до 16-ти слагаемых,

однако 12 из них взаимоуничтожаются и выражение приходитк виду

Em

1 (( Rобщ≈ + (sin(ψe )cos(ωt) +cos(ψe )sin(ωt)) +

Z

Z

углов, придем к выражению

I

1

(R≈

sin(ωt +ψ

) −ωL cos(ωt +ψ

)).

(2)

m Z

общ+

e

e

Вспомним еще одну формулу из тригонометрии

b sin(α) +a cos(α) = A sin(α +θ) ,

где A =

a2 +b2 , а θ =arctg

a

.

(3)

b

Сравнив эти формулы (3) с выражением в скобках (2), заметим, что на

месте b располагается

R≈

, а на месте а располагается ( −ωL ), тогда роль

A в

общ+

выражении (2) будетиграть Z = R≈ 2

+ (ωL)2

, а

−θ имеет смысл сдвига фаз

общ

ϕ между

током

и напряжением.

Так

что

последнее выражение

(2)

превращается в

R1 R =

R2

3 R2

Li=(0)

I22(p)

E0/p I11(p)

pL

Выражаем из первого уравнения I11 ( p) и подставляем во второе.

E0

+ I

( p)R

p

22

I11

( p) =

3

;

R1 + R3

E0 R3

R32

−

− I22 ( p)

+ I22 ( p)(R2

+ R3 + pL) = Li= (0).

p(R1 + R3 )

R1

+ R3

Найдем отсюда

E0 R3

Li

=

(0) +

I 22 ( p) =

p(R1 + R3 )

=

pLi= (0)(R1

+ R3 ) + E0 R3

.

R2 + R3

+ pL −

R32

p(R R + R

2

R + R R + pL( R + R ))

1

2

3

3

1

1

3

корня p =

0 и p

2

= −

R1 R2

+ R2 R3

+ R3 R1

= −

50 10 +10 10 +10 50

= −91,5[с−1 ];

1

L(R1 + R3 )

0,2(50 +10)

i = (t) =

E0 R3

+

p2 Li =(0)(R1 + R2 ) + E0 R3

eαt ;

R1R2 + R2 R3 + R3 R1 + 2p2 L(R1 + R3 )

R1R2 + R2 R3 + R3 R1

i =(t) =

10

10

+

− 61 0,3 0,146 (50 +10) +10 10

e−91, 5t ;

50 10 +10

10 +10 50

50 10 +10 10 +10 50 − 2

61 0,3 (50

+10)

i = (t) =

0,091 +0,055 e −91, 5t .

σt

1

В самом деле, изображение

e

выглядит

как

. Если мы

имеем

p −σ

комплексную переменную Em e j (ωt +ψ) = Em e jψ

e jωt , то, учитывая, что

Em e jψ

Тогда

операторное изображение комплексной ЭДС будет выглядеть так:

E(p) =

Em e jψ

.

p − jωt

R3

R2

E(p)=Emejψ/(p-jω)

R1

R

Составляем уравнения по методу контурных токов.

I

( p)(R

+ R

) + I

( p)R =

jE0

;

11

22

1

3

3

p

I11

(p)R3

+ I22

(R2 + R3 + pL) = E( p) − jLi(0) =

Em e jψe

− jLi(0) .

p − jω

27

jE0

− I 22 (p)R3

p

I11 ( p) =

и подставим во второе

R1 + R3

jE 0 R3

− I22

( p)

R32

+ I22 ( p)(R2

+ R3 + pL) =

Em e jψe

− jLi(0) .

p(R1 + R3 )

R1 + R3

p − jω

Теперь выразим I22 ( p) .

Em e jω

− jLi(0) −

jE0R3

I

( p) =

p − jω

p( R1 + R3 )

=

22

R2 + R3 + pL −

R32

R1

+ R3

pEm e jψe − jLi(0) p( p − jω) − j

E0R3

( p − jω)

R1

+ R3

=

.

( Rобщ≈

+

+ pL)( p − jω) p

Найдем корни знаменателя,

то есть значения параметра p ,

при которых

знаменатель

равен нулю.

Rобщ≈

p = 0 ;

p

=

jω;

p

= −

+

= −

R1 R2 + R2 R3 + R3 R1

.

2

3

L

(R1 + R3 )L

1

Через

Rобщ≈

обозначено

выражение

R1 R2 + R2 R3 + R3 R1

. Так это

+

R1 + R3

сопротивление

току при действии только переменной ЭДС.

Раскроем скобки в числителе и знаменателе выражения для второго

контурного тока.

E0 R3

E0 R3

pEm e jψe

− jp2 Li(0) − pωLi(0)

− jp

−ω

I