Голобородько Е.И. - Переходные процессы

равно напряжению на сопротивлениях R2 + R3 ,

а после коммутации только на

сопротивлении

R 2 .

До

коммутации

ток

от

источника

=

E0

10

= 0,091[A].

=

=

i1 (0)− =

=

Кстати, i2

(0)−

=i1

(0)− .

R1

+ R2 + R3

50

+10

+50

Значение напряжения на емкости

u = (0)=i= (0)− ( R + R ) = 0,091 (10 + 50) =5,45 [B].

C

1

2

3

После

коммутации

в

установившемся

режиме имеем

соответственно:

=

E0

ток

i1пр =

;

R1 + R2

и напряжение uC=пр =i1=пр R2

=

E0

R2 .

R1 +

R2

i = (R + R

) +i

=

R = E

0

;

11

1

2

22

2

i11= R2 +i22= R2 +

1

∫t

i22= dt −uC= (0) =0 .

C 0

Выразим из первого уравнения i11=

и подставим полученное выражение во

второе уравнение.

E0 R2

R22

i11= =

E0

−i22= R2

;

−i

22=

+ i22=

R2 +

1

∫t

i22= dt −uC= (0) = 0.

R + R

R + R

R + R

2

2

2

C 0

1

1

1

Взяв производную отлевой и правой части этого уравнения, получим

di=

R2

1

di=

R R

2

1

22

R

−

2

+

i

= =0 или

22

1

+

i=

= 0 .

dt

R + R

C

R + R

C

2

22

dt

2

22

1

2

1

Напомним, что решение однородного дифференциального уравнения (а оно

у нас получилось однородным, без свободного члена)

отыскивается в виде

i22= (t) = Aeαt

,

где

α

–

корень

характеристического

уравнения этого

α

R1 R2

+

1

= 0 .

C

R1 + R2

Обозначим

R1 R2

как Rα , тогда

α R +

1

= 0 и

α = −

1

,

C

R1 + R2

α

Rα

C

α = −

1

= −

1

=−80[c−1 ].

Rα C

8,33 1500 10−6

i = (0)

+

R +u

= (0) = E

0

,

1

1

C

откуда

i1=(0) + =

E0

−uC= (0)

=

10 −5,45

= 0,091[A].

R1

50

По первому закону Кирхгофа i1= (0)+ = i2= (0)+

+i3= (0)+ ,

где i2= (0) + =

uC= (0)

=

5,45

= 0,545 [A],

R2

10

стало быть

i= (0)

+

= i=(0)

+

−i= (0)

+

=0,091 −

0,545 = −0,454 [A].

3

1

2

Заметим,

что

ток

i3= (0)+ течет против выбранного нами направления для

i22= = iC= , и потому i22= (0) + = −i2=(0)+ =0,

454

[A]. Теперь сила тока через емкость

будет

Переходим к схеме, содержащей синусоидальную ЭДС е(t). Сразу

определимся, что амплитуда ЭДС

равна

Em = E≈ 2 =14,2 2 = 20

[B], а

угловая частота ω = 2πf = 314 [c−1 ].

R

R

1

е(t)

2

R =

k

3

R1

С

Rобщ≈ −

=

R1 (R2 + R3 )

=

50

(10 + 50)

= 27,3 [Ом],

R1

+ R2

+ R3

50 +10 + 50

после коммутации

Rобщ≈ +

=

R1 R2

=

50 10

= 8,33 [Ом].

R1

+ R2

50 +10

С

iC

X

=

1

=

1

=

1

=2,12 [Ом].

2πfC

2 3,14 50

1500 10−6

C

ωC

Полное сопротивление цепи и амплитуды токов до и послекоммутации

Z−

=

Rобщ≈2 − + XC2

=

27,32

+ 2,122

=27,4 [Ом];

Im − =

Em

=

20

=0,73 [A];

27,4

Z−

Z+

=

Rобщ≈2

− + X C2

=

8,332

+ 2,122

=8,6 [Ом];

Im + =

Em

=

20

=2,33[A].

8,6

Z+

Сдвиг фаз между током и напряжением источника до и после коммутации

ϕ−

=arctg

− X C

=arctg

−2,12 = −4,44°;

Rобщ≈

−

27,3

ϕ+

=arctg

− XC

=arctg

−2,12 = −14,3°.

Rобщ≈

+

8,33

uC≈−

=Um − sin(ωt +ψu− ) = XC Im− sin(ωt +ψi − −90°) =1,55sin(314t −55,6°) [В];

uC≈пр

=Um + sin(ωt +ψu+ ) = X C Im+ sin(ωt +ψi+ −90°) = 4,94sin(314t − 45,7) [В].

Те же напряжения в моменткоммутации (при t = 0)

uC≈− (0) = uC≈+ (0) + =1,55sin(−55,6°) = −1,28 [В];

uC≈пр(0) = 4,94sin(−45,7°) =−3,54 [В].

схемы

1

∫t

iC≈(t)dt +uC≈ (0) +iС≈(t) Rобщ≈ + = Em sin(ωt +ψe ) .

С

0

Возьмем производную отлевой и правой частей

diC≈

R≈

+

1

i≈ = E ωcos(ωt +ψ

) .

dt

общ+

С C

m

e

Соответствующее характеристическое уравнение для дифференциального

уравнения

diC≈св

R≈

+

1

i ≈

= 0 , освобожденного отправой части выглядит так:

dt

общ+

С Cсв

αR

≈

+

1

= 0 ,

откуда α = −

1

=

1

=−80[c−1 ].

С

Rобщ≈

+ С

8,33 1500 10−6

общ+

Rобщ≈ +

iC≈ (0)+ + uC (0)+ = Em sin(ψe ) ,

откуда

Em sin(ψe ) −uC≈ (0) +

20 sin(30°) +1,28

i ≈(0)

=

=

=1,354 [A].

Rобщ≈

8,33

C

+

+

E(p)=Emejψ/(p-jω)

R1

R2

I22

(p)

jE0/p

I11(p)

juC(0)/p

1/pC

Рис. 66.

Операторная схема цепи с электроемкостью

Составляем систему уравнений по методу контурных токов.

I

( p)(R

+ R

) + I

( p)R

=

j

E0

;

11

2

22

2

1

p

1

Em

u

C

(0)

I

11

( p)R

2

+ I

22

( p) R

2

+

=

− j

.

pC

p − jω

p

Выражаем первый контурный ток из первого уравнения

I11 ( p) =

jE0

− I22 ( p)

R2

p( R1 + R2 )

R1

+ R2

и подставляем во второе.

jE

R

2

R2

1

Em

u

C

(0)

0

− I22 ( p)

2

+ I22 ( p) R2

+

=

−

j

.

p(R

+ R

)

R

+ R

pC

p − jω

p

2

1

2

1

Em

−

j

uC (0)

− j

E0R2

p − jω

p( R

+ R )