Вопрос 19. Стационарное состояние различных систем

Задача Штурма-Лиувилля для оператора :(*)

Волновое уравнение: (**)

Как только поставили в соответствие системе оператор , то можем решать волновое уравнение, находим, которая определяет состояние системы. Задача Штурма-Лиувилля дает собственные значения и собственные функции оператора.

Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля и функции, являющиеся решением волнового уравнения совпадают при условии выполнения:

, тогда . Это условие совместности решений (*) и (**).

Так как , то гамильтониан системы явно от времени не зависит, т. е. поле стационарно (задача стационарна) – это говорит о совместности решений (*) и (**).

Рассмотрим стационарную задачу , тогдане зависит от времени. Это либо:

1. Замкнутая система.

2. Система в стационарном внешнем поле.

Использую (*) и (**), получим

Это дифференциальное уравнение имеет решение

Подставим эту функцию в (*), тогда

.

Тогда получим

Получили стационарное уравнение Шредингера.

Вопрос 20. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки

Для свободной материальной точки ., тогда переходим к стационарному уравнению Шредингера.

Это трехмерная задача

Оператор Лапласа

Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.

Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде

, где

Для имеем.Обозначим.

Тогда Решение этого уравнения

Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит сохраняется направление движения частицы.

Мы выбираем движение частицы по направлению оси x. Тогда в силу сохранения импульса имеем .

Для трехмерного случая

Полная волновая функция

(***)

Рассмотрим теперь коммутатор

Так как импульс коммутирует с и не зависит явно от времени, тогда. Из этого следует:

1. -интеграл движения.

2. Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.

Найдем собственные значения оператора импульса.

{используем, что , т. е.} ==.

Тогда собственное значение оператора :

Это первое дебройлевское соотношение.

Из (***) вводится - второе дебройлевское соотношение.

Используем, что

Уравнение (***) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.

Вопрос 26. Собственный механический момент (спин).

Рассмотрим Na. У него есть желтая линия . Возникает при переходе с уровня 3p на 3s.

Первоначально ее длина была 5892

Было обнаружено, что эта линия расщепляется на две: дублет.

Возникла идея расщепления уровня 3p на два, тогда можно объяснить возникновение двух линий.

В 1925 г. Была предложена гипотеза спина, т. е. собственного механического момента.

У электрона спиновое число s=.

Впоследствии Паули ввел спин в теорию.

Если имеем одну частицу, то она характеризуется орбитальным квантовым числом .

Состовная частица (атом) состоит из многих микрочастиц. Можно рассматривать эту составную частицу вцелом и приписать ей момент , который описывает орбитальное движение частицы как целого.

Энергетический уровень этой составной частицы в некоторых полях будет зависеть от орбитальных моментов микрочаститц .

Эти моменты являются внутренним свойством этой составной частицы.

Можно рассматривать 2 момента:

1. . Этот момент описывает внутреннее движение частицы (относительно центра инерции)

2. Частица сама движется по некоторой траектории.

У частицы есть еще квантовое число , характеризующее собственный механический момент.

Вводят оператор собственного механического момента:

По аналогии

Спин – внутреннее свойство частицы. Его смысл – у частицы есть внутренний параметр, который реагирует на вращение координат независимо от места положения частицы.