- •Вопрос 1. Классическое и квантовое описание системы.
- •Вопрос 2 Принцип неопределенности.
- •Вопрос 4. Полный набор динамических переменных
- •Вопрос 6 Принцип суперпозиции состояний
- •Вопрос 8 Понятие о теории представлений
- •Вопрос 3. Постулаты квантовой механики.
- •Вопрос 5 Волновая функция и ее свойства.
- •Вопрос 7 Операторы в квантовой механике
- •Если , то операторы коммутативны.
- •Вопрос 10. 11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случаи дискретного и непрерывного спектров.
- •Вопрос 12 Среднее значение измеряемой величины.
- •Вопрос 13 Вероятность результатов измерения
- •Вопрос 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •Вопрос 9. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.
- •Вопрос 16 Волновое уравнение
- •Вопрос 15 Вычисление коммутаторов, содержащих операторы .
- •Вопрос 16 Волновое уравнение
- •Вопрос 23. Флуктуации физических величин.
- •Вопрос 21 Производная оператора по времени
- •Вопрос 22 Интегралы движения в кв. Механике.
- •Вопрос 24. Неравенство Гайзенберга.
- •Вопрос 17 Оператор Гамильтона различных систем.
- •Вопрос 19. Стационарное состояние различных систем
- •Вопрос 20. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •Для трехмерного случая
- •Вопрос 26. Собственный механический момент (спин).
- •Вопрос 27. Спиновая переменная волновой функции
- •Вопрос 29. Принцип тождественности.
- •Вопрос 28. Оператор перестановки и его свойства
- •Вопрос 31. Симметричное и антисимметричное состояния.
- •Вопрос 25. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения.
Вопрос 16 Волновое уравнение
Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механической системы.
Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.
Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:
Норма волновой функции:
- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале .
Наложим на - условие ее сохранения во времени.- это физическое требование, поскольку, тотакже функция времени.
На базе ограничения получим некоторые ограничения на
Обозначим . Мы знаем, что, таким образом. Тогда само скалярное произведение- чисто мнимое число.
Но - число вещественное. Отсюда можно представить
. (*)
Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор, то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.
Подставим (*) в равенство , тогда
- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор - эрмитов: . Свойства оператора :
В пределе перехода к классической механике: , то , гдеS – действие из классической механики. Причем , тогда рассматривая, (**)
где - функция Гамильтона.
В нашем случае , тогда учитывая предельный переходи (**), то: .
Получили волновое уравнение:
- уравнение Шредингера.
Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.
Вопрос 23. Флуктуации физических величин.
Пусть есть - физическая величина, которая при измерении с вероятностьюдает величину, тогда мы можем говорить о среднеми о дисперсии, где.
Мы вводили флуктуацию
,
отклонение величины от ее среднего значения.
Перенесем все это на язык квантовой механики, т. к. физической величине мы ставим в соответствие.
Можно показать, что .
Неравенство Коши-Шварца: Оно справедливо и для функциональных пространств, в том числе и для Гильбертова пространства, которое рассматривается в квантовой механике.
Для двух векторов оно имеет вид
имеет смысл тот, что .
, .
Теперь если обозначить ,, тогда будем также рассматривать статистическое усреднение. Отсюда получим из неравенства Коши-Шварца:
Теперь если определить . К тому же по определению изимеем, тогда. Из этого следует, что.
В случае квантовой механики заменяем на , тогда
.
Вопрос 21 Производная оператора по времени
Пусть средняя от величины , тогда.
Ставим в соответствие величине оператор, тогда величинеставим в соответствие.
Распишем: {ограничение }{ и соотношение ,}=
=={}= => {распишем квадратную скобку операторов: , но , тогда
}
В классической механике . []-скобки Пуассона.
В квантовой механике существует связь:
В пределе имеем.
В квантовой механике большинство операторов явно не зависят от времени и их частные производные равны 0.
Вопрос 22 Интегралы движения в кв. Механике.
В классической механике , где, тогдаA – интеграл движения. В квантовой механике, чтобы величина , которой ставится в соответствие оператор, была интегралом движения нужно, чтобы.
Для того чтобы физическая величина сохранялась, необходимо и достаточно, чтобы .
т. к. , то-значение момента импульса сохраняется, т. е. является интегралом движения.
. - интеграл движения.
. Отсюда следует. Что различные компоненты момента импульса одновременно не измеримы. А измерима только одна проекция .
. Квадрат импульса одновременно измерим с любой компонентой момента импульса.
, тогда импульс не является интегралом движения.