- •Вопрос 1. Классическое и квантовое описание системы.
- •Вопрос 2 Принцип неопределенности.
- •Вопрос 4. Полный набор динамических переменных
- •Вопрос 6 Принцип суперпозиции состояний
- •Вопрос 8 Понятие о теории представлений
- •Вопрос 3. Постулаты квантовой механики.
- •Вопрос 5 Волновая функция и ее свойства.
- •Вопрос 7 Операторы в квантовой механике
- •Если , то операторы коммутативны.
- •Вопрос 10. 11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случаи дискретного и непрерывного спектров.
- •Вопрос 12 Среднее значение измеряемой величины.
- •Вопрос 13 Вероятность результатов измерения
- •Вопрос 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •Вопрос 9. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.
- •Вопрос 16 Волновое уравнение
- •Вопрос 15 Вычисление коммутаторов, содержащих операторы .
- •Вопрос 16 Волновое уравнение
- •Вопрос 23. Флуктуации физических величин.
- •Вопрос 21 Производная оператора по времени
- •Вопрос 22 Интегралы движения в кв. Механике.
- •Вопрос 24. Неравенство Гайзенберга.
- •Вопрос 17 Оператор Гамильтона различных систем.
- •Вопрос 19. Стационарное состояние различных систем
- •Вопрос 20. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •Для трехмерного случая
- •Вопрос 26. Собственный механический момент (спин).
- •Вопрос 27. Спиновая переменная волновой функции
- •Вопрос 29. Принцип тождественности.
- •Вопрос 28. Оператор перестановки и его свойства
- •Вопрос 31. Симметричное и антисимметричное состояния.
- •Вопрос 25. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения.
Вопрос 12 Среднее значение измеряемой величины.
По определению (1)
Рассмотрим оператор с дискретным спектром. Разложимпо собственным функциям оператора: (2)
По равенству Парсеваля
{в силу линейности оператора заносим его под знак суммы}
(3)
Подставляя (3) в числитель, а (2) в знаменатель для (1), тогда имеем
(4)
Из теории вероятности , где- вероятность получения, тогда
Вопрос 13 Вероятность результатов измерения
- вероятность того, что при измерении величины для системы, находящейся в состояниимы получим результат.
Если система находится в состоянии , то величинапри измерении выходит с вероятностью равной 1:
В общем случае .
Условие при котором собственная функция оператора описывает состояние системы: Если полная производная оператора удовлетворяет равенству
Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины A для системы, находящейся в состоянии , лежат в интервале, определяется следующим значением:
или плотность вероятности
Вопрос 14 Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
Введем понятие коммутатора
Если мы имеем , то предполагается, что на некоторую функциюсначала действует, а потом на все действует.
Если , то операторыикоммутативны. Причем физические величины, соответствующие этим операторам одновременно измеримы. Или говорят, что эти операторы имеют общий базис. То есть все собственные функции этих операторов можно выбрать общими.
Разложим по базису: .
Подействуем на коммутатором:
{Используем то, что образуют общий базис. }=
{Числа с оператором коммутируют (т. к. операторы эрмитовы)} =
То есть, если физические величины одновременно измеримые, то их коммутатор равен нулю.
Обратное:
Если коммутатор обращается в ноль, то физические величины одновременно измеримы.
Пусть собственная функция задачи Штурма-Лиувилля. Подставляем ее в коммутатор
Тогда получим . Мы рассматриваем невырожденный спектр. Это значит, что существует однозначное соответствие одно собственного значения и одной собственной функции. Разница между функциямиитолько до константы.
Пусть эта константа , тогда. Но, тогда.
Мы получили, что функция удовлетворяет задаче Штурма-Лиувилля для оператора.
Это можно было показать для любой собственной функции оператора .
Тогда из коммутативности операторов иследует общность базисов.
Величины и, которым соответствуют коммутирующие операторы могут быть одновременно измеримы и следовательно могут образовывать полный набор динамических переменных.
Полный набор динамических переменных полностью задает состояние системы. Но операторы идолжны быть независимы.
Вопрос 9. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии.
Будем использовать координатное представление (-представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки.
Действие сводится к умножению на вектор , т. е. (это определение действия оператора, но не задача Штурма-Лиувилля).
Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:
,
однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен. Оператор энергии или Гамильтониан .
,
здесь - оператор кинетической энергии,- оператор потенциальной энергии.
Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:
Координата t – признак внешнего нестационарного поля.
Для одной материальной точки: . Тут присутствует и, ноиодновременно не измеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измерены. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо, либооказываются неизвестными.