Вопрос 3. Постулаты квантовой механики.

Часто выделяют 4 постулата:

1. Постулат о волновой функции.

Каждой системе (состоянию кв.-мех. системы) может быть поставлена в соответствие волновая функция динамических переменных (из полного набора) и времени, полностью описывающей состояние системы.

Динамические переменные одновременно измеряемы. -n – мерный вектор динамических переменных; функция динамических переменных и времени - описывает эволюцию квантово-механических систем.

В классической механике задание 2n динамических переменных полностью определяет состояние системы через функцию Гамильтона.

В квантово-механической системе описывается эволюция системы через - функцию отn динамических переменных.

2. О связи физических величин и объектов математики.

Каждой физической величине ставится во взаимооднозначное соответствие оператор: .

3. Связь между результатами измерения физической величины и значением оператора(т. е. решением математических задач)

- значение физической величины , которое получено в результате измерения системы, находящейся вi-том квантовом состоянии.

является одним из собственных значений оператора . Это задача Штурма – Лиувилля (задача на собственные функции и собственные значения). Задача определяет собственные значения, соответствующиеи определяет собственные функции, соответствующие собственным значениям.

Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре.

Если собственные значения образуют непрерывное множество, то спектр непрерывный.

4. Определение среднего значения физической величины

здесь введено понятие скалярного произведения для функций из гильбертова пространства.

Гильбертово пространство – это пространство квадратично интегрируемых функций (нормируемых функций).

- квадратично интегрируемые функции, тогда

Это определение для - декартовых переменных. Для перехода к другой системе координат вводится якобиан.

* - комплексное сопряжение.

Это аналог длины в векторном пространстве.

Вопрос 5 Волновая функция и ее свойства.

Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы точностью до фазового множителя. Т. е.

т. е. ,описывает одно и тоже состояние, где- фазовый множитель.

Волновая функция – комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки).

Функции - нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точкине нормируема.

- элементарный объем

- вероятность того, что динамические переменные лежат в интервале.

Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций.

Для не квадратично интегрируемых функций величина пропорциональна плотности вероятности.

Вопрос 7 Операторы в квантовой механике

В силу принципа суперпозиции в квантовой механике используются линейные операторы.

Линейный оператор – это такой оператор действующий на, что

(1)

(2)

здесь

1. – задача Штурма-Лиувилля

2. - действует на произвольную функцию.

Линейность:

Если , то(3)

т.к. , то из (3)

Сопряженный оператор – это оператор, который связан с данным оператором соотношением:

или

Отсюда

Если - то оператор называется эрмитовым.

Транспонированный оператор

Отметим следующие свойства:

1)

(4)

Из выражения (4) получаем

2)

3)

Сумма операторов: . Это операторное равенство предполагает

Произведение операторов: , тогда . Это операторное равенство предполагает

В общем случае не коммутативны

Коммутатор