Вопрос 16 Волновое уравнение

Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механической системы.

Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.

Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:

Норма волновой функции:

- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале . Наложим на- условие ее сохранения во времени.- это физическое требование, поскольку, тотакже функция времени. На базе ограниченияполучим некоторые ограничения наОбозначим. Мы знаем, что, таким образом. Тогда само скалярное произведение- чисто мнимое число. Но- число вещественное. Отсюда можно представить

. (*)

Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор, то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.Подставим (*) в равенство, тогда

- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор - эрмитов: . Свойства оператора :

В пределе перехода к классической механике: , то , гдеS – действие из классической механики. Причем , тогда рассматривая, (**)

где - функция Гамильтона.

В нашем случае , тогда учитывая предельный переходи (**), то: .

Получили волновое уравнение:

- уравнение Шредингера.

Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.

Вопрос 15 Вычисление коммутаторов, содержащих операторы .

Для оператора :

Найдем , где- есть функцияи, т.е.- координатное представление.

Это равенство понимается в том смысле, что при действии коммутатора на любую функцию, равенство выполняется.

{распишем это},

теперь , (1)

т.к. - произвольная функция.

Аналогичный результат для оператора :

,

в импульсном представлении.

, (2)

здесь .

Рассмотрим частные случаи формул (1) и (2):

1. , здесь играет роль функции.

2. 

3. , здесь потенциальная энергия - функция координат и времени.

3a.

4. 

5. , здесь импульсное представление, таким образом .

5a. {для одной материальной точки }-это справедливо и в координатном и в импульсном представлении. Для координатного , а для импульсного.

6. -координатное представление.

7. -импульсное представление

Рассмотрим соотношение для оператора

Используем дополнительное соотношение:

{используем (1) и (2): ,}{, тогда второе слагаемое } ={в классической математике измерение компонента вектора при бесконечно малом повороте:

,

это оотношение справедливо и в квантовой теории поля:

}={}={,

. В общем случае импульс и координата не коммутируют, тогда функция координат и импульсов и импульс, координата и функция координат и импульсов не коммутируют. Если f – функция скалярная, тогда она не меняется при вращении. В этом случае, чтобы , тоf – векторная функция.} (где f есть компонента некоторой векторной величины, т. е. .

Тогда перепишем в виде:

{меняем местами индексы}

Тогда для любой векторной функции имеем:

Здесь вместо можно подставить, например,

- коммутатор с любым скаляром равен нулю.

Получим: