Номенклатура представлений групп
Одномерные представления обычно обозначаются символами АиВ. ТипАотличается тем, что главной операции поворота (т.е. с максимальным порядком) соответствует характер +1, тогда как для типаВэтот характер равен –1. Двумерные представления обозначаются символомЕ, а трехмерные — символомТ. Если в группе имеется несколько однотипных представлений их обозначения снабжаются индексами (А1,А2, …) или штрихами (A',A'', …). Если в группе имеется операция инверсии, то представления разделяются на четные (Ag,E2g, …) и нечетные (Au,E2u, …).
Четным представлениям (индекс g) соответствует характер операции инверсии +1, а у нечетных (индексu) он равен –1. (В некоторых текстах вместо прописных символов —A,B,E,T— используются их строчные аналоги —a,b,e,t .
В ряде случаев приходится иметь дело с объектами, обладающими очень высокой симметрией (шар, цилиндр, конус и т.д.). Точечные группы таких объектов включают в себя бесконечно много операций. Например, для шара любая плоскость, проходящая через центр, является элементом симметрии. Такие группы называются бесконечномерными. Они обладают и бесконечным числом типов симметрии (неприводимых представлений. Так, группа шараО(3)имеет типы симметрии размерности 2k+ 1, (где любое целое число), обозначаемые греческими буквами:
|
Тип симметрии |
|
|
|
|
… |
|
Размерность |
1 |
3 |
5 |
7 |
… |
Эти типы симметрии используются для описания типов движения электронов в атомах:
|
Тип симметрии |
|
|
|
|
… |
|
Тип движения (атомная орбиталь) |
s |
p |
d |
f |
… |
Полезность классификации различных характеристик молекул по типам симметрии обусловлена следующим обстоятельством: если две какие-либо характеристики относятся к одному и тому же типу симметрии, то между ними есть нечто общее и в физическом отношении.
Другими словами, физические величины, которые мы приписываем молекуле, можно разбить на классы, определяемые типами симметрии. Достаточно изучить особенности только одного представителя такого класса, чтобы получить аналогичную информацию о всех остальных.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение понятиям "симметрия", "операция симметрии" и "элемент симметрии".
2. Перечислите разновидности симметрии, укажите их основные отличия.
3. Перечислите все пространственные операции симметрии.
4. Дайте определение точечной группы симметрии.
5. ТГС состоит из операций или элементов симметрии?
6. Каким образом взаимосвязаны между собой элементы ТГС?
7. Дайте определение понятия "класс эквивалентности". Являются ли такие классы перекрывающимися?
8. Дайте определение понятиям "тип симметрии", "характер", "таблица характеров".
9. Для каких целей можно использовать типы симметрии?
10. Сколько типов симметрии имеет та или иная ТГС?
Типовые задачи
1. Для заданной молекулы перечислить все операции симметрии и изобразить графически расположение соответствующих им элементов симметрии.
2. Для заданного набора операций симметрии или ТГС привести несколько примеров молекул, обладающих указанной симметрией.
3. Пользуясь таблицами характеров ТГС (Приложение), отнести к определенным типам симметрии проекции векторов импульса (px,py,pz) и момента импульса (Lx,Ly,Lz).