Пространственные операции симметрии

Эти операции можно разделить на несколько видов.

Поворотыотносительно заданной оси на определенный угол, которые обозначаются символомС, с двумя индексами — верхним и нижним:

• верхний индекс служит для обозначения оси, вокруг которой осуществляется поворот (например, x,y,zи т.д.),

• нижний индекс указывает на величину угла поворота — он равен частному от деления 360на угол поворота (например, для угла в 90этот индекс будет равен 360/90 = 4 ).

Так, символ C₃^z означает поворот вокруг осиzна 120. Здесь необходимо отметить, что угол считается положительным, если поворот производится против часовой стрелки (при взгляде с положительного конца оси поворота) и отрицательным при повороте по часовой стрелке. Символ операции поворота с отрицательным углом дополнительно отмечается верхней чертой. Так, например, символC₃^zозначает поворот вокруг осиzна 120по часовой стрелке, т.е. на угол –120.

Среди операций поворота выделяют один особый случай — когда угол поворота равен 0 (или кратен целому повороту на 360). Такая специальная операция называетсяединичнойи обозначается символомЕбез дополнительных индексов. При такой операции все части объекта полностью сохраняют свое относительное и абсолютное расположение в пространстве (можно сказать, что единичная операция означает просто отсутствие какой-либо операции).

Повороты с отражением.Такая операция выполняется в два этапа:

1) обычный поворот вокруг заданной оси,

2) отражение в плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Такие операции обозначаются символом S с двумя индексами, имеющими тот же смысл, что и в случае простых поворотов. (Иногда для таких операций используют термин "зеркальный поворот".)

Среди поворотов с отражением принято выделять два особых случая. Во-первых, когда угол поворота равен 0, операция представляет собой обычное отражение в плоскостии обозначается символом (т.е.S₁ =) с верхним индексом, указывающим на расположение плоскости отражения. Так, например, символ^хуозначает операцию отражения в декартовой плоскостиху. Во-вторых, когда угол поворота равен 180, операция называетсяинверсиейи обозначается символомi (т.е.S₂ = i) без дополнительных индексов. Инверсия представляет собой отражение объекта относительно некоторой выделенной точки —центра симметрии.

Перечисленные пять видов операций (E,C_n,S_n,,i) исчерпывают все многообразие операций пространственной симметрии. (В некоторых старых учебниках можно встретить термин "поворот с инверсией", который обозначает операцию поворота с последующей инверсией. Однако, любой поворот с инверсией эквивалентен некоторому повороту с отражением и поэтому нет надобности одновременно использовать обе эти разновидности операций симметрии. Мы будем пользоваться только поворотами с отражением.

Подчеркнем одно важное обстоятельство. Следует всегда различать операции симметрии и элементы симметрии. Если под операцией мы понимаем некоторую процедуру, типаповорота,отражения,инверсиии т.д., то элемент — это то, относительно чего выполняется данная процедура —ось,плоскость,центри т.д. Операции и элементы не эквивалентны друг другу. Например, вокруг одной и той же оси иногда можно выполнить несколько различных поворотов (на разные углы).

Рассмотрим некоторые примеры. Возьмем молекулу воды и расположим ее в декартовой системе координат.

Из рисунка легко видеть, что над молекулой воды можно произвести следующие операции симметрии:

• поворот на 180 вокруг оси z(безразлично, в каком направлении) — при этом атомы водорода поменяются местами и, кроме того, задние половинки всех трех атомов поменяются местами с передними;

• отражение в плоскости xz, при котором атомы водорода поменяются местами и, кроме того, левые половинки всех атомов поменяются местами с правыми;

• отражение в плоскости yz, в результате которого все три атома останутся на своих местах, но передние и задние половинки всех трех атомов поменяются местами;

• единичная операция, при которой все атомы сохранят свое расположение и ориентацию в пространстве.

В результате, мы можем полностью описать пространственную симметрию молекулы воды списком из четырех операций:

{ E, C₂^z , ^xz , ^yz }

В качестве второго наглядного примера возьмем молекулу диимида.

В этом случае симметрия молекулы задается тоже четырьмя операциями. Две из них — единичная операцияиповорот на 180  вокруг оси z, имеют тот же смысл, что и для молекулы воды. Кроме них, имеются еще две операции, которые для молекулы воды не являются операциями симметрии. Этоотражение в горизонтальной плоскостиxy, при котором все атомы сохраняют свое положение, но их верхние и нижние половины меняются местами, иинверсия, при которой происходит обмен пространственными положениями в парах одинаковых атомов (HHиNN). В результате, мы можем полностью описать пространственную симметрию молекулы диимида списком из четырех операций: {E,C₂^z,^xy ,i }.

Такие совокупности операций симметрии, характерных для какого-либо объекта, называются точечными группами симметрии(ТГС). Необходимо подчеркнуть, что группа — это не просто произвольная совокупность операций симметрии. Элементы любой группы тесно взаимосвязаны, так что достаточно знания всего нескольких элементов, чтобы по ним можно было восстановить всю группу целиком (такие элементы называютсягенераторамигруппы).

Заметим, что элементами группы являются операции симметрии (повороты, отражения и т.д.), а не элементы симметрии (оси, плоскости и т.д.).

Указание ТГС полностью определяет пространственную симметрию любого объекта конечных размеров. (Для бесконечных объектов, типа идеальной кристаллической решетки, возможны операции симметрии специального типа — трансляции. Соответственно, группы симметрии, включающие операции трансляции, называютсяпространственными.Эти группы применяются только при описании кристаллов и мы их касаться не будем.)

ТГС имеют свою систему обозначений и определенную классификацию. Так, ТГС молекулы воды обозначается как С_2v, а ТГС диимида — С_2h. Наличие символаС₂ говорит, что в группе имеется операция поворота на 180. Заметим, что указание на ось поворота отсутствует. Это связано с наличием соглашения о том, как нужно единообразно располагать объект в системе координат — главная (т.е. имеющая наибольший порядок) ось симметрии молекулы должна быть совмещена с осьюz. Наличие индексаvговорит о наличии операции отражения в вертикально расположенной плоскости, а индексаh— операции отражения в горизонтальной плоскости.

Подчеркнем, что знания о наличии поворота С₂ и одного из отражений_v достаточно, чтобы установить и наличие второго отражения (в плоскости, перпендикулярной первой). Другими словами, операции, отраженные в обозначении группы, являются ее генераторами.

Перечислим некоторые типы ТГС.

ТГС	Операции, входящие в группу
Сn	повороты вокруг вертикальной оси на углы, кратные 360/n
Sn	повороты с отражением вокруг вертикальной оси
Сnv	повороты и отражения в вертикальных плоскостях
Сnh	повороты и отражение в горизонтальной плоскости
Dn	повороты вокруг нескольких несовпадающих осей
Dnh	повороты вокруг нескольких несовпадающих осей и отражение в горизонтальной плоскости, перпендикулярной главной оси
Td	группа симметрии тетраэдра
Oh	группа симметрии октаэдра
Сv	группа симметрии линейных молекул ( типа Н—Сl )
Dh	группа симметрии линейных молекул ( типа Н—Н )
О(3)	группа симметрии шара