Классы эквивалентности

Иногда в группе симметрии имеется несколько однотипных операций, похожих друг на друга. Рассмотрим для примера группу С_3v, описывающую симметрию объектов в форме треугольной пирамиды (например, молекулы аммиака). Эта группа содержит два поворота вокруг вертикальной осиz—C₃^z(на 120°) иC₃^z(на 240°или, что то же самое, на –120) и три отражения в вертикальных плоскостях, пересекающихся друг с другом по осиzи образующих между собой углы в 120.

Можно заметить, что обе операции поворота (по часовой стрелке и против часовой стрелки) переходят друг в друга в результате отражения в любой из трех плоскостей симметрии. Аналогичным образом, три операции отражения переходят друг в друга при поворотах на 120. Такие совокупности операций образуют т.н.классы эквивалентности группы. Следовательно, в группеС_3vимеется три класса эквивалентности:

• класс поворотов, содержащий две операции {C₃иС₃};

• класс отражений, содержащий три операции {₁, ₂,₃};

• единичный класс, содержащий одну операцию {E }.

Можно заметить, что эти классы непересекающиеся.Другими словами, каждый элемент группы относится только к одному классу эквивалентности. Внутри данного класса все элементы эквивалентны между собой, но любые два элемента из разных классов не эквивалентны друг другу.

В коммутативных (абелевых) группах каждый элемент образует свой индивидуальный класс эквивалентности. Другими словами, в таких группах нет эквивалентных между собой элементов.

Разбиение группы на классы эквивалентности играет важную роль в физико-химических приложениях теории групп.

Типы симметрии

С помощью ТГС объекты различной природы можно классифицировать специальным образом — по типам симметрии.

Рассмотрим снова молекулу воды. Ее симметрия нам известна. Пусть теперь эта молекула находится в движении — она вся, как целое, движется в направлении оси х. Ясно, что каждый атом молекулы также движется в направлении осих, причем и направления, и величины скоростей отдельных атомов в точности одинаковы.

Подвергнем эту движущуюся молекулу действию операций симметрии, входящих в группу С_2v. В результате действия операцииЕ, мы не увидим никаких изменений ни в расположении атомов, ни в их скоростях. После поворота движущейся молекулы вокруг осиzна 180мы увидим, что атомы водорода поменялись местами, их задние половинки поменялись местами с передними, а левые половинки — с правыми. Кроме того, все скорости одновременно изменили свое направление на противоположное. В результате, молекула самосовместилась (в смысле относительного расположения атомов), но стала двигаться в противоположном направлении. После операции отражения в плоскостиxz, направление движения не изменится, а после отражения в плоскостиyzизменится на противоположное. Полученные результаты можно кратко записать с помощью следующих уравнений:

Результаты действия операций ТГС на молекулу воды, движущуюся в направлении оси х, мы можем суммировать с помощью таблицы:

Операция симметрии	Е	С2	xz	yz
Характер	+1	–1	+1	–1

Набор чисел во второй строке, показывающих действие каждой из операций симметрии на наш объект, является математическим выражением понятия тип симметрии. Сами же эти числа называютсяхарактерами данного типа симметрии. Другими словами, тип симметрии задается набором характеров — по одному на каждую операцию, входящую в ТГС. В математической литературе можно встретить другое название —неприводимое представление(НП) группы симметрии. Дли физико-химических приложений понятия "НП ТГС" и "тип симметрии ТГС" можно рассматривать как полные синонимы.

Число различных типов симметрии для каждой ТГС строго ограничено и равно числу классов эквивалентности данной группы. Поэтому все типы симметрии можно легко перечислить и систематизировать в виде справочных таблиц. Они, обычно, называются таблицами характеровгрупп и содержатся во всех справочниках. Приведем в качестве примера таблицы характеров группС_2v. иС_2h :

C2v	Е	С2	xz	yz	Типы движений
A1	1	1	1	1	z
A2	1	1	–1	–1	Rz
B1	1	–1	1	–1	x, Ry
B2	1	–1	–1	1	y, Rx

C2h	Е	С2	xy	i	Типы движений
Ag	1	1	1	1	Rz
Au	1	1	–1	–1	z
Bg	1	–1	1	–1	x, y
Bu	1	–1	–1	1	Rx, Ry

Из таблиц видно, что в обеих этих группах имеется по четыре типа симметрии, которые обозначены специальными символами.

В последнем столбце приведены примеры типов механических движений (x, y, z— трансляции вдоль соответствующих осей, аR_x , R_y и R_zсоответствуют вращениям), которые, как обычно говорят, "принадлежат" данным типам симметрии. Видно, что распределение типов движений по типам симметрии разное, т.е. оно зависит от симметрии молекулы.

Подчеркнем, что в любой группе имеется один специальный тип симметрии (А₁илиA_g), для которого все характеры равны 1. Он называетсяполносимметричнымтипом и соответствует неподвижной молекуле. По этому типу классифицируются физические величины, не изменяющиеся при действии операций симметрии, такие как энергия, дипольный момент и др., обусловленные внутренним устройством (природой) молекулы, а не конкретным состоянием, связанным с внешними условиями, в которых молекула находится.

В некоммутативных группах действие операции симметрии на физическое свойство молекулы не всегда можно описать посредством умножения на число +1 или –1 по типу: F [A] = (1)A. В общем случае это уравнение выглядит следующим образом:

Видно, что действие операции симметрии описывается не единственным числом, а целой совокупностью таких чисел (a_ij), составляющих квадратнуюматрицуразмеромnn. В таких случаях в качестве характеров операций симметрии используются т.н.следысоответствующих матриц (след— сумма диагональных элементов матрицы, у которых оба индекса одинаковы):=a_ij . Размер матриц (n) называетсяразмерностьютипа симметрии (неприводимого представления). Поэтому можно различать представления одномерные (состоят из матриц 11), двумерные (состоят из матриц 22), трехмерные (состоят из матриц 33) и т.д. В случае коммутативных групп все такие матрицы состоят из одного числа, т.е. все типы симметрии таких групп одномерны.