Структура группы

Любая математическая группа, в том числе и точечная группа симметрии, имеет внутреннюю структуру.

Композиция

Операции симметрии можно применять последовательно — одну за другой. Отличительная особенность именно операций симметрии заключается в том, что любая, как угодно длинная, последовательность операций приведет к результату, который может быть достигнут всего в одну стадию — путем применения только одной из операций симметрии, входящей в данную ТГС. Эту особенность принято записывать с помощью специального типа уравнений:

^xz _* ^yz = C₂^z

Приведенное равенство означает, что выполнение двух последовательных отражений (сначала в плоскости yz, а затем в плоскостихz) эквивалентно по своему результату одной операции — повороту на 180°вокруг осиz. Такое выражение называютумножениемопераций симметрии или ихкомпозицией. С помощью процедуры умножения можно строитьпроизведенияоперации симметрии "на себя", т.е. возводить эту операцию в степень. Характерно то, что любая операция, возведенная в достаточно большую степень, даст в результате единичную операцию: (F)ⁿ =E. Числоnназываетсяпорядкомоперации. Так, порядок любого поворота равен нижнему индексуn, порядок любого отражения и инверсии равен 2, порядок единичной операции равен 1.

Подчеркнем, что очередность расположения операций в их композиции, а, соответственно, и очередность их выполнения над объектом может быть существенной. Для некоторых пар операций симметрии выполняется равенство: А * В=В * А, а для некоторых — нет. В первом случае операцииАиВназываютсякоммутирующими, а во втором —не коммутирующими. В большинстве ТГС встречаются как коммутирующие так и не коммутирующие между собой операции. Однако, существует небольшое число групп, содержащих только коммутирующие элементы. Такие группы относятся к особому типукоммутативных(илиабелевых) групп.

Пользуясь операцией умножения, для любой группы можно построить таблицу умножения. Такая таблица содержит по одному столбцу и одной строке для каждого элемента группы. В клетке таблицы на пересечении столбцаiи строкиjстоит элемент-произведение с_ij=a_{i *} a_j. Например, для группыC_2vтаблица умножения имеет вид:

C2v	E	C2z	xz	yz
E	E	C2z	xz	yz
C2z	C2z	E	yz	xz
xz	xz	yz	E	C2z
yz	yz	xz	C2z	E

Видно, что каждая строка и каждый столбец групповой таблицы содержат каждый элемент группы, причем ровно один раз. Приведенный пример таблицы обладает симметрией, относительно главной диагонали (с_ij=c_ji). Такая симметрия характерна для коммутативных (абелевых) групп.

Еще одна особенность таблицы заключается в следующем. Если рассмотреть только часть таблицы (заштрихована), то можно заметить, что она обладает всеми особенностями групповой таблицы. Другими словами, внутри группы C_2v, содержащей четыре элемента (E,C₂,^xz,^yz), существует другая группа меньшего размера, содержащая два элемента (E,C₂). Такие группы, являющиеся составной частью большой группы, называются ееподгруппами. В частности, в группеC_2vимеется три подгруппы:

(E, C₂) (E, ^xz) (E, ^yz)

Наличие подгрупп и их размеры можно оценить с помощью теоремы Лагранжа, которая утверждает, что число элементов любой подгруппыkдолжно быть делителем числа элементов группыn. Так в группеС_2v(n= 4) могут быть только подгруппы сk= 2, а в группеO_h(n= 48) можно ожидать наличия подгрупп сk= 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24.