Функции распределения

По результатам экспериментальных измерений наблюдаемые можно разделить на два типа: воспроизводимыеиневоспроизводимые. Так, измеряя массу молекулы газа, мы в серии повторных измерений будем всегда получать одно и то же число, т.е. масса — пример воспроизводимой наблюдаемой. На вопрос "Какова масса молекулы?" всегда можно ответить одним числом "М=М" (например, для молекулы водыМ= 18 у.е.).

Измеряя кинетическую энергию той же молекулы газа, мы в серии повторных измерений каждый раз будем получать новое числовое значение — одно из допустимых значений, входящих в спектр этой наблюдаемой. Некоторые из этих чисел будут получаться чаще, а другие — реже. Опыт показывает, что относительная частота получения тех или иных допустимых значений стремится к некоторому постоянному пределу при увеличении числа повторных измерений. Эти пределы относительных частот носят название вероятностей(Р). Таким образом, если мы имеем дело с невоспроизводимой наблюдаемой, то мы можем охарактеризовать каждое допустимое значение в спектре дополнительным числом — вероятностью его обнаружения при проведении непосредственного измерения:

Такая комбинация спектра с вероятностями называется функцией распределениянаблюдаемой. Функцию распределения удобно изображать в виде графика зависимости вероятности от числового значения наблюдаемой. Например, для кинетической энергии молекулы газа такой график имеет следующий качественный вид:

С помощью функции распределения можно дать хотя и не вполне однозначный, но все же содержательный ответ на вопрос: "Какова энергия молекулы газа?", несмотря на невоспроизводимый характер этой наблюдаемой.

Функции распределения как заменители наблюдаемых широко применяются в механическом способе описания таких систем, для которых экспериментальные измерения наблюдаемых затруднены теми или иными обстоятельствами — в случае микроскопических систем (квантовая механика), а также в случае систем, интенсивно взаимодействующих с окружающей средой (статистическая механика). Заметим, что обычные (воспроизводимые) наблюдаемые можно рассматривать как частный случай функций распределения, имеющих бесконечно малую ширину. Например, функцию распределения для массы молекулы можно изобразить так:

Механическое состояние

Понятие "состояния" является, наряду с понятием "наблюдаемой", еще одним важнейшим элементом механического способа описания. Любой реальный объект бесконечно разнообразен в качественном отношении. Если поставить задачу описания объекта исчерпывающим образом, то придется провести бесконечно много разных измерений с помощью бесконечного числа различных приборов. В результате будет получен бесконечно длинный список числовых значений всех мыслимых наблюдаемых:

А=А;В=В;С=С; … и т.д.

Очевидно, что эта задача является практически невыполнимой. Ситуация, однако, облегчается тем, что не все наблюдаемые являются полностью независимыми друг от друга. Во многих случаях, зная значение одной или нескольких наблюдаемых, мы уже априори можем предвидеть те значения, которые будут получены при измерении других наблюдаемых.

Рассмотрим для примера систему, представляющую собой 1 моль химически инертного газа, заключенный внутри сосуда. Экспериментально измерив давление (Р) и температуру (Т) газа, мы можем априори утверждать, что объем газа (V) будет равенV=RT/P, гдеR — универсальная газовая постоянная. Экспериментальная проверка подтвердит правильность нашего предположения. Аналогично, зная величины объема и температуры, мы можем предсказать значение давления и т.д. Другими словами, числовые значения некоторых наблюдаемых связаны между собой определеннымиуравнениями состояния.

Наличие уравнений состояния позволяет исключить некоторые наблюдаемые из списка подлежащих экспериментальному измерению и несколько сократить этот бесконечный список. Можно поставить вопрос таким образом: каково максимальное число наблюдаемых, которые можно исключить таким образом? Ответ на этот вопрос известен: число таких наблюдаемых бесконечно, но несколько меньше общего числа наблюдаемых. Разница между этими двумя бесконечными списками представляет собой небольшой набор наблюдаемых, измерение которых, с одной стороны, необходимо, а, с другой стороны, достаточно для получения всей возможной информации об исследуемом объекте. Этот остаток часто называется фундаментальным набором, а количество наблюдаемых в нем —числом степеней свободы (r).

Например, для системы, содержащей 1 моль идеального газа, число степеней свободы r= 2. Отсюда следует, что для получения исчерпывающей информации об этой системе достаточно измерить любые две наблюдаемые. Значения всех остальных наблюдаемых можно вычислить по уравнениям состояния идеального газа.

Достаточно очевидно, что фундаментальный набор можно выбрать из полного списка наблюдаемых многими способами. Все эти варианты будут эквивалентными (взаимозаменяемыми) и все они будут содержать одинаковое число наблюдаемых (r). Например, электрон в атоме водорода может быть описан фундаментальным набором из четырех наблюдаемых. Обычно используется следующий набор: энергияЕ, длина вектора орбитального момента|L|, проекция вектора орбитального моментаL_z, проекция вектора спинового моментаS_z. В некоторых случаях бывает удобнее другой набор: энергия Е, длина вектора орбитального момента|L|, длина вектора полного момента|J|, проекция вектора полного моментаJ_z. Оба эти набора эквивалентны (в рамках нерелятивистской модели) и их можно взаимно преобразовывать без потери информации:

{ Е, |L|, L_z, S_z }{Е, |L|, |J|, J_z}.

Таким образом, для получения полного механического описания системы достаточно указать числовые значения только тех наблюдаемых, которые входят в фундаментальный набор:

 = { A = A ; B = B ; C = C }

Этот минимально необходимый и достаточный набор (список) наблюдаемых, для каждой из которых указано ее числовое значение, называется механическим состояниемсистемы. Следует подчеркнуть, что этот список содержит не всю информацию о системе, а только механическую, т.е. которую можно получить посредством экспериментальных измерений и выразить посредством чисел. Кроме того, выявить эту информацию полностью можно только располагая полным набором уравнений состояния.

При введении понятия "состояние" важно учитывать одно принципиальное требование. Оно заключается в том, чтобы все числовые значения наблюдаемых, входящих в фундаментальный набор, относились к одному и тому же моменту времени. Пусть, например, система представляет собой движущееся тело с массой m. Для нее можно определить две наблюдаемые: кинетическую энергиюТи модуль вектора импульса |р |. Проведем последовательно несколько измерений и получим такую таблицу:

Время, t	Энергия, T	Импульс, | р |
t1	T1	p1
t2	T2	p2
...	...	...

Известное уравнение состояния Т =р²/2mбудет выполняться только тогда, когда значения энергии и импульса отнесены к одному и тому же моменту времени, т.е.Т₁=р₁²/2mиТ₂=р₂²/2m, ноТ₁р₂²/2mиТ₂р₁²/2m. Для систем, находящихся в стационарных (т.е. не изменяющихся во времени) состояниях это ограничение, очевидно, не имеет значения.

Таким образом, состояние объекта представляет собой определенную совокупность наблюдаемых, содержащую полную (в механическом смысле) информацию об этом объекте. В этом отношении состояние напоминает сложную наблюдаемую векторного типа. Действительно, если пользоваться всегда одним и тем же фундаментальным набором, то можно абстрагироваться от конкретного смысла наблюдаемых и задавать состояние просто списком чисел — числовых значений этих наблюдаемых:

При таком переходе необходимо, конечно, держать в уме список используемых наблюдаемых и порядок их расположения.

Новое выражение состояния — только в виде набора чисел — называется вектором состояния. Такое название связано с тем, что этот набор чисел обладает всеми свойствами математических векторов. Наиболее существенной особенностью векторов состояния является то, что полная совокупность всех мыслимых состояний любой системы, изображенных векторами состояния, образует математическую структуру — "векторное пространство". В механическом способе описания оно называетсяпространством состояний(ПС). Примерами таких ПС могут служить:

• трехмерное конфигурационноепространствос координатными осямиx,y,z(если имеетсяNчастиц, то размерность равна 3N);

• четырехмерное Галилеевопространство, в котором к пространственным осям добавлена временна́яx,y,z,t;

• 6-мерное фазовоепространство, в котором кроме трех пространственных осей имеются еще три оси для скоростей (или импульсов)x,y,z,v_x,v_y,v_z(если имеетсяNчастиц, то размерность равна 6N);

• бесконечномерное Гильбертовопространствоквантовой механики, где в качестве координатных осей служат некоторые специальные состояния, например, стационарные;

• пространство составов(с переменной размерностью), в котором координатным осям соответствуют чистые химические вещества, а векторам — смеси;

• элементное пространство(с переменной размерностью), в котором координатным осям соответствуют химические элементы, а векторам — химические соединения.