- •Глава 5. Время и пространство в квантовой механике
- •5.1. Зависимость амплитуд от времени
- •Оператор эволюции и оператор Гамильтона
- •Стационарные состояния
- •Возмущения стационарных состояний
- •5.2. Пространственная зависимость амплитуд
- •Операторы импульса и момента импульса
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 6. Многочастичные системы
- •6.1. Глобальные и локальные описания
- •6.2. Системы с невзаимодействующими частицами
- •6.3. Системы с взаимодействующими частицами
- •Орбитальная модель
- •6.4. Системы из тождественных частиц и принцип Паули
- •Вопросы для самоконтроля
Глава 5. Время и пространство в квантовой механике
Выше уже было отмечено, что амплитуда события закономерно зависит от локализации этого события во времени и в пространстве. Эти закономерности можно описать относительно простыми уравнениями, используя понятия вектора состояния (или волновой функции) и оператора.
5.1. Зависимость амплитуд от времени
Представим себе устройство ("прибор"), в котором с частицами ничего не происходит: частица предоставлена самой себе и подвергается только "действию" времени. Влияние времени на состояние частицы можно исследовать стандартным способом — с помощью некоторого спектрального анализатора (А). Для этого следует проанализировать приготовленное состояние частиц в разные моменты времени, напримерt иt'. В качестве результата анализа будут выступать два вектора состояния:
| t=A1 |1+A2|2+ . . . . +An|n
| t'=A'1 |1+A'2|2+ . . . . +A'n|n
В общем случае результат анализа (набор чисел-координат Ai) зависит от момента времени, в который производится анализ, т.е. можно утверждать, что с течением времени состояние частицы изменяется. Для описания такой эволюции во времени удобно представить состояние в виде вектора, координаты которого закономерно зависят от времени:
| t=A1(t) |1+A2(t) |2+ . . . . +An(t) |n
Зная, как выглядят функции Ai(t), можно вычислить значения координат вектора состояния в произвольный момент времениt. Подчеркнем, что при таком подходе зависимость от времени заключена в координатах вектора, тогда как базисные состояния от времени никак не зависят. Такой способ введения времени в квантово-механические уравнения называетсяпредставлением Шредингера.
Существуют и другие способы решения той же проблемы. Так, в представлении Гейзенберга время вводится в базисные состояния, тогда как координаты вектора состояния предполагаются постоянными:
| t=A1 |1(t) +A2 |2(t) + . . . . +An |n(t)
Наиболее общим вариантом является представление Дирака, в котором временная зависимость разделяется определенным способом между координатами и базисными состояниями:
| t = A1 (t) | 1(t) + A2 (t) | 2(t) + . . . . + An (t) | n(t)
Оператор эволюции и оператор Гамильтона
Рассмотрим эволюцию состояния системы за промежуток времени между двумя измерениями: t=t2–t1, в течение которого совершается переход |t1 |t2. Этот переход удобно описать с помощью специального оператора эволюции Ut.
| t2=Ut|t1
Это векторно-операторное уравнение можно записать в координатном представлении, например через вектор-столбцы и квадратную матрицу:
В соответствии с правилами линейной алгебры, мы можем заменить это уравнение эквивалентной системой из nуравнений вида:
которые позволяют вычислять координаты второго вектора из известных координат первого и матричных элементов оператора эволюции.
Достаточно очевидно, что каждому отрезку времени соответствует свой оператор эволюции, т.е. для описания произвольных процессов эволюции потребуется бесконечно много таких операторов. В действительности, однако, операторы эволюции тесно связаны между собой. Рассмотрим два последовательных промежутка времени, которым соответствуют операторы эволюции U(t2,t1) иU(t3,t2). Сумма двух, следующих друг за другом, промежутков времени (t21=t2–t1иt32=t3–t2) может, очевидно, рассматриваться как один большой промежуток (t31=t3–t1), которому соответствует свой оператор эволюцииU(t3,t1):
Тогда между тремя перечисленными операторами существует простое соотношение: U(t3,t1) = U(t3,t2)U(t2,t1). Отсюда можно заключить, что операторы эволюции для более крупных промежутков времени можно строить в виде произведений операторов для более мелких промежутков. Это позволяет выбрать некоторый стандартный (достаточно малый) промежуток времени, найти для него оператор эволюции и из него построить все остальные. Наиболее удобно в качестве такого стандартного промежутка взятьбесконечно малыйинтервалdt. Соответствующий стандартный операторUdtназываетсяоператором бесконечно-малого сдвига во времени (или "инфинитезимальным" оператором эволюции).
Рассмотрим вид матричных элементов оператора эволюции, который осуществляет сдвиг от начального момента времени t1= 0 к текущему моментуt1=t. Очевидно, что матричные элементы будут функциями времени:Uij=(t). Любую из этих функций можно разложить в степенной ряд (ряд Тейлора):(t) =(0) +С1(t) +C2(t)2+• • •, где коэффициентыС1,С2и т.д. пропорциональны производным первой, второй и т.д. степени. Для бесконечно малого сдвига во времени степенями величиныdt, начиная со второй, можно пренебречь. Поэтому зависимостьUij(t) может быть представлена более простым образом:
Очевидно, что при нулевой величине сдвига (t= 0) конечный вектор не будет отличаться от исходного, т.е.A'i = Ai. Следовательно, матричные элементыUij(0) должны образовывать единичную матрицу (символ Кронекера или дельта-символ —ij):
С учетом этого выражение для матричного элемента приобретет вид:
(переименование коэффициента разложения dUij/dt–(i/)Hijосуществляется по соображениям размерности). Подставив полученное выражение в исходную систему уравнений, получим:
A'i = [ij – (i/ )Hij dt] Aj = ij Aj – (i/ )(Hij Aj)dt =
= Ai – (i/)(HijAj)dt
Отсюда легко получить следующую форму системы уравнений:
которую удобно переписать в матричном виде
или в операторном виде с использованием векторов состояния:
или волновых функций:
Это уравнение называется уравнением Шредингера, а входящий в него операторН—оператором Гамильтона(илигамильтонианом). С помощью этого уравнения можно узнать, насколько изменилось некоторое начальное состояние за времяdt, располагая только гамильтонианом:
(t +dt) = (t) +d= (t) – (i/) [H(t)]dt
Последовательно проводя такую операцию сдвига во времени (+dtили –dt), можно легко предсказать все будущие и прошлые состояния системы.
Следует подчеркнуть, что гамильтониан зависит от внешних условий, в которых находится система — если эти условия изменить, то изменится и характер эволюции системы во времени.
Рассмотрим некоторые свойства оператора Гамильтона. Как у всякого квантовомеханического оператора, у гамильтониана имеется набор собственных векторов (функций) и собственных значений:
которые удовлетворяют уравнению на собственные значения:
H | hi = i | hi и H i = i i
Возьмем одну из собственных функций гамильтониана и подставим ее в уравнение Шредингера:
В этом случае операторное уравнение превращается в простое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое может быть легко проинтегрировано:
Заметим, что комбинация величин, стоящая в показателе экспоненты:
представляет собой фазу комплексной экспоненты, т.е. безразмерное число. Отсюда можно заключить, что размерность собственного значения гамильтониана выражается в [Дж]. Поэтому, собственные значения оператора Гамильтона представляют собой допустимые значения квантовомеханической наблюдаемой, называемой, по аналогии с классической механикой, энергией ():i =i . Отношениеi=i/(с размерностью [с–1] ) называетсячастотой, которая, в сущности, также представляет собой энергию, но измеренную в единицах. Теперь собственные функции гамильтониана можно записать так:
Очевидно, что каждой собственной функции гамильтониана соответствует своя строго определенная энергия (и частота). Этот признак является характерным, и любое квантовомеханическое состояние со строго определенной энергией является одновременно и собственным для некоторого оператора Гамильтона.
Из приведенных формул видно, что собственные функции гамильтониана зависят от времени, причем временная зависимость всегда имеет строго определенный вид: фаза комплексной экспоненты прямо пропорциональна времени: = t. Располагая этой информацией, можно описать зависимость от времени для любой волновой функции. Для этого достаточно воспользоваться принципом суперпозиции. Набор собственных функций любого оператора образует базис. Поэтому произвольную функцию можно представить в виде линейной комбинации собственных функций гамильтониана:
Легко видеть, что несобственным функциям всегда соответствует несколько частот, тогда как каждой собственной функции соответствует единственная и строго определенная частота. По этой причине собственные состояния гамильтониана иногда называют монохроматическими.