Отражение от микроскопического зеркала

Возьмем зеркало чрезвычайно малого размера. Хотя через точки его поверхности можно провести множество траекторий, но все они будут примерно одинаковыми по длине, и, следовательно, всем им будет соответствовать практически одинаковая фаза амплитуды. Векторная сумма амплитуд будет выглядеть примерно так:

Достаточно очевидно, что суммарная амплитуда (и вероятность) практически не зависит от положения такого микроскопического зеркала. Причина этого — именно малые размеры зеркала, не допускающие заметно отличающихся по длине траекторий. В этом случае нет преобладания деструктивной интерференции и, в результате, мы не можем выбросить ни одной из траекторий, поскольку все они вносят заметный вклад в суммарную амплитуду. Для таких микроскопических систем "однотраекторное" или "лучевое" приближение, очевидно, несправедливо. Это заставляет решать микроскопические задачи по полной программе — на языке амплитуд, а не на языке вероятностей. Такой способ решения оптических задач на основе полного амплитудного формализма называется волновойоптикой. Отсюда можно заключить, что лучевая оптика является некоторым приближением волновой, верным только для систем макроскопических размеров.

Между лучевой и волновой оптиками имеется определенная граница. Ее можно провести посредством введения специальной "критической длины" или "критического размера" (). Эта величина называется длиной волны света. Можно сформулировать важное правило:

если размеры того фрагмента пространства, в котором вынужден распространяться свет, меньше , то правильное описание возможно только на волновом (амплитудном) языке,

если размеры того объема пространства, в котором вынужден распространяться свет, больше , то правильное описание возможно и на лучевом (вероятностном) языке.

Существование двух разновидностей оптических задач было известно давно — со времен Ньютона и Гюйгенса. В первой половине 19 века У.Р. Гамильтон показал, что все уравнения лучевой оптики можно сформулировать в виде, точно таком же, что и уравнения классической механики. Другими словами, свет можно рассматривать как поток частиц, движение которых управляется законами классической механики. Такая "изоморфность" лучевой оптики и классической механики была названа оптико-механической аналогией.

В частности, Гамильтон показал, что два известных фундаментальных принципа: принцип наименьшего времени(Ферма) в лучевой оптике ипринцип наименьшего действия (Мопертюи) в классической механике эквивалентны друг другу и сводятся к требованию экстремума некоторой величины:фазы(=t) в лучевой оптике и действия (S ) в классической механике).

Уравнения классической механики и лучевой оптики становятся одинаковыми, если пронормировать оптическую фазу и механическое действие одинаково. Для этого необходимо ввести некоторую специальную единицу действия S_o и выражать действие в относительной (безразмерной) форме:S* =S/S_o .

Анализ этой аналогии приводит к следующему выводу. Поскольку существует две оптики — "лучевая" (макроскопическая) и "волновая" (микроскопическая), то, наряду с классической "траекторной" механикой, которая аналогична лучевой оптике, должна существовать и другая механика — "волновая" или "квантовая", которая должна быть аналогична волновой оптике. При этом область квантовой механики должна быть отделена от области классической некоторой "критической длиной" _Б .

Такая гипотеза была выдвинута Луи де Бройлем в 1923 г. Ее справедливость была затем подтверждена многочисленными экспериментами. Соответствующая критическая длина _Б получила название "длины волны де Бройля".

Для формулировки новой механики потребовалась единица действия (S_o), названная постоянной Планка .

Воспользуемся выражениями классической физики для фазы световой волны и для механического действия. В случае равномерного и прямолинейного движения света или механической частицы эти выражения имеют вид:

 = t или =kx

где — частота света, аk— волновой вектор световой волны, и

S=EtилиS =px

где E — энергия (для свободного движения — кинетическая) частицы, аp — импульс частицы.

Отсюда легко видеть, что выполняются следующие равенства:

 = S/=E/k=p/

или S=•E=•p=•k

Заметим, что для света, наряду с частотой и волновым вектором, можно ввести также длину волны:

 = 2с/= 2/k, гдес— скорость света.

Аналогично, для механической частицы получим:

_Б= 2/k= 2/p=h/p=h/mv

(здесь h= 2— другая разновидность постоянной Планка)

Это уравнение позволяет оценить величину "критической длины" _Бдля частиц различной природы. Например, для электрона в атоме водорода это значение имеет порядок 1 ангстрема (_Б=h/mv10^–34/ 10^–3110⁷= 10^–10 м). Отсюда можно заключить, что правильное решение задач, связанных с движением электронов в чрезвычайно малых структурах, таких как атомы и молекулы, может быть получено только методами квантовой механики. Напротив, движение электронов в макроскопических системах (например, в трубке кинескопа, электронной лампе) может быть описано и средствами классической механики.

Именно поэтому физика так долго могла обходиться простым однотраекторным приближением ("классической механикой"). Необходимость перехода к полному амплитудному формализму была обнаружена только тогда, когда появилась реальная экспериментальная возможность исследовать микроскопические структуры атомных и молекулярных размеров.

76