Отражение света от зеркала

Пусть имеются источник света, испускающий частицы-фотоны определенного типа (=const), и детектор, разделенные непрозрачным экраном. Фотоны могут попасть в детектор, только отражаясь от расположенного сбоку зеркала.

В отличие от предыдущих примеров, здесь зеркало имеет большие (макроскопические) размеры и существует бесконечно много альтернативных траекторий, по которым частица может переместиться от источника к детектору (на рисунке приведены только некоторые из них). Для всех траекторий, зная их длину, можно легко рассчитать локальные амплитуды и построить из них глобальную амплитуду по стандартному правилу.

Можно заметить, что длины траекторий изменяются закономерно: по мере продвижения к центру зеркала они становятся все короче, а затем, после прохождения минимума, все длиннее. В соответствии с длиной изменяется и время, необходимое для прохождения траектории, а, следовательно, и фаза амплитуды (=t). Это можно наглядно изобразить с помощью графика:

Для траектории с минимальной длиной и фаза амплитуды будет минимальна. При этом в области минимума будет иметь место следующая важная особенность: при переходах от одной траектории к соседней длина траектории и, следовательно, фаза амплитуды изменяется незначительно. Однако, по мере удаления от минимума, скорость изменения и длины траектории и фазы амплитуды будем становиться все больше и больше.

Для нахождения суммы всех локальных амплитуд применим векторный формализм, т.е. расположим все векторы по типу "голова-хвост". При этом получится некоторая кривая специфической формы ("кривая Корню"), имеющая следующий качественный вид:

Из этой диаграммы можно видеть, что большинство стрелок-амплитуд интерферируют деструктивно и их вклады в сумму взаимно уничтожаются. Исключение составляют лишь несколько амплитуд, соответствующих тем траекториям, которых проходят вблизи минимума. Наклоны (фаза) этих стрелок практически одинаковы, и поэтому для них наблюдается конструктивная интерференция. Длина суммарного вектора, соединяющего полюса спирали Корню, практически равна сумме этих почти одинаково ориентированных стрелок.

Отсюда следует важный физический вывод. Если мы поместим на место детектора собственный глаз, то увидим в зеркале лишь небольшое световое пятно, расположенное вблизи минимальной траектории (для которой угол падения равен углу отражения). Другими словами, если отрезать концы зеркала, то вероятность срабатывания (освещенность) детектора практически не изменится. Это соответствует известному принципу оптики ("принципу Ферма"), который утверждает, что свет распространяется вдоль такого пути, на котором он затрачивает минимальное время.

В действительности, свет может распространяться по любым путям. Это можно продемонстрировать с помощью некоторой модификации экспериментальной установки. От исходного зеркала оставим небольшой участок, расположенный в стороне от кратчайшей траектории. В этом случае все амплитуды будут интерферировать только деструктивно. Независимо от расположения этого небольшого зеркала, освещенность детектора будет практически равна нулю. Теперь разделим зеркало на небольшие участки, на которых векторы амплитуд имеют близкую ориентацию:

Векторная сумма этих стрелок будет практически равна нулю, независимо от их числа, так как для каждой из них найдется стрелка, направленная прямо противоположно.

Теперь выделим все участки зеркала, где стрелки направлены в одну сторону, например, вправо, а все остальные участки закрасим черной краской:

Теперь, несмотря на то, что стрелок осталось гораздо меньше, чем было, их векторная сумма будет весьма значительной, так как оставшиеся стрелки направлены одинаково.

С физической точки зрения ситуация выглядит так. Вначале мы имеем сплошное зеркало, расположенное в стороне от кратчайшей траектории, и отражение света в направлении детектора не наблюдается вообще. После того, как мы покроем зеркало регулярно расположенными полосами черной краски, поглощающей свет, детектор станет ярко освещенным. Такое "разрисованное" зеркало отражает свет не по законам классической оптики (угол падения не равен углу отражения), а по законам "амплитудной" или "волновой" оптики.

Уменьшив площадь отражающей поверхности, мы сделали отражение более интенсивным — этот результат достигнут за счет специальной пространственной организации системы. Подобные конструкции, выделяющие только такие траектории, для которых наблюдается конструктивная интерференция, широко используются в оптической технике и называются дифракционными решетками.

Другой способ управления процессом отражения основан на изменении формы зеркала. Если зеркалу сделать неплоским, то длины всех траекторий изменятся. Это приведет к изменению суммарной амплитуды и освещенности детектора. Можно даже подобрать такую специальную форму зеркала, что длины всех траекторий станут в точности одинаковыми. Для зеркала такой формы амплитуды по всем траекториям будут интерферировать только конструктивно, и освещенность детектора будет максимально возможной — весь свет, испущенный источником, попадет в детектор. Такая ситуация реализуется для зеркала, имеющего форму эллипсоида (по определению, эллипсоид — это такая поверхность, что сумма расстояний от любой ее точки до двух фокусов есть величина постоянная).

Варьируя форму зеркала, можно получить еще один принципиальный результат. Если мы сделаем зеркало более кривым, чем в эллипсоиде (например, придадим ему форму гиперболоида), то длины траекторий снова станут различными. Теперь, однако, среди них не будет наикратчайшей, но зато будет "наидлиннейшая". Тем не менее, именно в области этой выделенной траектории мы сможем наблюдать световое пятно в гиперболическом зеркале. Отсюда следует, что свет распространяется по путям не только с наименьшим, но и с наибольшим временем. Легко видеть, что условием конструктивной интерференции является любой экстремум, безразлично, является ли он максимумом или минимумом.

Таким образом, можно сделать вывод: если установка имеет макроскопические размеры, то число возможных траекторий чрезвычайно велико, При этом практически все амплитуды интерферируют деструктивно, за исключением тех, которым соответствует экстремум фазы (длины, времени прохождения). В этих случаях можно отказаться от рассмотрения всех траекторий и учитывать только одну из них — именно ту, которой соответствует экстремум фазы. В результате, процедура решения задач в макроскопических ситуациях чрезвычайно упрощается. Более того, поскольку мы рассматриваем только одну безальтернативную траекторию, можно вообще отказаться от понятия амплитуды и пользоваться исключительно вероятностями. Именно так и поступают в классической "лучевой" оптике, всегда имеющей дело с макроскопическими объектами.

Очевидно, что такое "однотраекторное" или "лучевое" приближение имеет свои ограничения. Для выяснения этого вопроса рассмотрим еще один пример.