3.4. Амплитуды в пространстве и времени

Амплитуды событий (так же как и соответствующие им вероятности) зависят от времени и места осуществления этих событий. Эти зависимости сравнительно просты и элементарны (только если пользоваться именно амплитудным, а не вероятностным формализмом).

Особую роль в амплитудном формализме играют некоторые специальные события, в которых между приготовлением частицы в начальном состоянии и срабатыванием детектора частица предоставлена самой себе, т.е. она не подвергается действию никаких внешних сил или возмущений. В этом случае имеет место такая закономерность:

• модуль амплитуды обратно пропорционален расстоянию (r) между источником и детектором,

• фаза амплитуды прямо пропорциональна времени, прошедшему с момента приготовления до момента детектирования (t), или расстоянию, отделяющему детектор от источника (r):

A_SD = (N/r)  e ^it = (N/r)  e ^ikr

(константа N в этой формуле необходима для того, чтобы вероятность события всегда лежала в интервале значений от 0 до 1; она называется нормировочным множителем).

Для наименования коэффициентов иkобычно применяются термины "частота" и "волновой вектор", соответственно, хотя в действительности никакого реального колебательного или волнового явления нет. Взаимозаменимость времени и пройденного расстояния обусловлена тем, что изолированная частица может двигаться только равномерно и прямолинейно (по инерции), а при таком способе движения время и путь связаны линейным соотношением:x=t.

Один из "отцов" квантовой механики, Ричард Фейнман предложил модель, позволяющую наглядно (хотя бы в некоторой степени) представить характер изменения амплитуды во времени и пространстве. Допустим, что с частицей связана комплексная плоскость, расположенная перпендикулярно направлению движения частицы. В этой плоскости расположена "стрелка" (вектор), изображающая собой амплитуду. В момент вылета частицы из источника эта стрелка имеет единичную длину и ориентирована горизонтально — вдоль действительной оси (т.е. _о= 0). С течением времени эта стрелка равномерно вращается (вокруг оси, показывающей направление движения) с угловой частотой, так что фазовый угол растет прямо пропорционально времени:=t, и если частица при этом удаляется от источника, то длина стрелки уменьшается по закону: |A| = 1/r.

Сложные (составные) события

Важной особенностью амплитудного формализма является возможность рассматривать два типа микроскопических событий: "простые" и "сложные". Простое событие можно рассматривать только глобальным образом — как нечто элементарное, неделимое. Поэтому такое событие характеризуется единственной парой чисел — амплитудойАи вероятностьюР= |A|².

Сложное событие представляет собой совокупность простых, причем каждому простому событию, входящему в состав сложного, можно приписать индивидуальные амплитудуA_iи вероятностьР_i= |A_i | ². В результате, сложное событие можно описывать двояким образом:

• с глобальной точки зрения — АиР,

• с локальной точки зрения — { A₁A₂...A_i...} и {P₁P₂...P_i...}.

Между глобальной амплитудой всего сложного события Аи амплитудами локальных событий {A₁A₂...A_i...} можно установить простую взаимосвязь, для чего следует различать два вида локальных событий: альтернативные (взаимозависимые) и последовательные (независимые). В этом случае можно сформулировать два простых правила:

1) если сложное событие состоит из составляющих альтернативного типа (т.е. может осуществиться несколькими взаимоисключающими способами), то глобальная амплитуда равна сумме локальных амплитуд:

А=A₁+A₂+ ... =A_i

2) если сложное событие состоит из последовательных событий (этапов, стадий), то глобальная амплитуда равна произведению локальных амплитуд:

А=A₁•A₂•... =_ПA_i

(Необходимо иметь в виду, что эти правила выполняются только для амплитуд, но не для вероятностей.)

Сформулированные выше правила чрезвычайно полезны для решения квантовомеханических задач. Допустим, что нас интересует некоторое событие, но мы не знаем, чему равна его амплитуда (и, следовательно, вероятность). В этом случае мы строим искусственную конструкцию — модель события,которая изображает это событие как сложное, как комбинацию из некольких более простых событий, амплитуды которых известны. Располагая такой моделью, мы по приведенным выше правилам рассчитываем глобальную амплитуду, и, возведя ее в квадрат, находим вероятность события. Вероятность же является величиной, измеримой экспериментально. Сравнивая расчетную и экспериментальную вероятности, мы можем оценить правильность построенной нами модели события.

Для пояснения сказанного рассмотрим несколько простых примеров.

Пример 1. Пусть имеется источник, приготавливающий частицы в определенном состоянии и выпускающий их в виде пучка, и детектор, обнаруживающий прибытие частицы в определенную точку пространства. Кроме источника и детектора ничего нет.

В такой ситуации мы имеем дело с "простым" событием и нет необходимости разлагать его в сумму еще более простых. Вполне естественно полагать, что если частица: а) вылетела из источника и б) была зафиксирована детектором, то она двигалась по прямой SD. В этом случае мы легко можем рассчитать и амплитуду, и вероятность по приведенным ранее формулам через пройденное частицей расстояние (r) или затраченное время (t):

A_SD = (N/r)  e ^it = (N/r)  e ^ikr

Р_SD = |A_SD|²= (N/r)²

Пример 2. Добавим к системе из предыдущего примера экран с микроскопическим отверстием:

Теперь путь частицы от источника к детектору не может быть прямолинейным, поскольку частица должна пройти через отверстие в экране. Поэтому естественно предположить, что суммарное событие  D | S состоит, как минимум, из двух последовательных этапов:

1) движение частицы от источника до отверстия a|S,

2) движение частицы от отверстия до детектора D|a.

В соответствии со вторым правилом получим формулу для вычисления глобальной амплитуды события в виде произведения:

 D|S=D|aa|S

Заметим, что оба сомножителя можно легко вычислить, поскольку оба отрезка траектории частицы — прямолинейные. Соответственно, вероятность события (S  D) будет равна:

Р_SD= |D|S|²= |D|a|² |a|S|² =P₁P₂

В данном случае мы нашли, что для последовательных событий как амплитуды, так и вероятности комбинируются одинаковым образом — перемножаются. Следует иметь в виду, что это верно только для последовательных событий, а в общем случае амплитуды и вероятности ведут себя различным образом.

Полученный результат можно проверить экспериментально. Поставив детектор в отверстие экрана, мы могли бы измерить вероятность Р₁непосредственно. С другой стороны, поставив источник в отверстие экрана, мы могли бы непосредственно измерить и вероятностьР₂.

Пример 3. Добавим к системе из предыдущего примера несколько экранов с микроскопическим отверстием в каждом:

Теперь путь частицы от источника к детектору будет весьма извилистым. Поэтому суммарное событие (S  Dили D | S ) естественно разложить на 4 последовательных этапа:

1) движение частицы от источника S до отверстияa—a|S,

2) движение частицы от отверстия aдо отверстияb—b|a,

3) движение частицы от отверстия bдо отверстияc—c|b,

4) движение частицы от отверстия cдо детектораD—D|c.

Глобальную амплитуду события получим в виде произведения:

 D|S=D|cc|bb|a a|S

Снова все сомножители известны, поскольку все четыре отрезка траектории частицы — прямолинейные.

Этот результат легко обобщить на случай с произвольным числом последовательных событий, осуществляющихся друг за другом и непересекающихся во времени.

Пример 4. Пусть между источником и детектором имеется только один экран, но с двумя отверстиями:

Здесь ситуация принципиально иная, чем в предыдущих примерах. Для того, чтобы частица достигла детектора, необходимо, чтобы она прошла через одно из отверстий в экране. Проблема заключается в том, что мы не знаем, через какое именно отверстие прошла конкретная частица. Правило разрешения таких ситуаций заключается в следующем:

если у нас нет экспериментальной информации о способе осуществления события, то мы обязаны рассмотреть все возможные способы.

В данном примере таких способов всего два — частица могла пройти либо через отверстие а, либо через отверстиеb. Легко видеть, что эти два способа осуществления события являются альтернативными,(т.е. взаимоисключающими). Поэтому глобальная амплитуда будет представлять собой сумму двух локальных амплитуд:

А=А_а +А_b

Кроме того, каждый из двух возможных путей (траекторий) частицы состоит из двух последовательных прямолинейных отрезков. Поэтому локальные "амплитуды по траекториям" могут быть представлены в виде произведения двух сомножителей:

А_а =D|aa|SиА_b =D|bb|S

Тогда формула для вычисления глобальной амплитуды будет иметь вид:

 D|S=D|bb|S+D|aa|S=[D|ii|S]

Обратимся теперь к анализу вероятностей. Мы могли бы разместить детектор в отверстиях aиbи непосредственно измерить вероятности

P_Sa = |  a | S  | ² и P_Sb = |  b | S  | ²

Аналогично, размещая источник в отверстиях экрана, мы могли бы непосредственно измерить вероятности

P_aD= |D|a| ²иP_bD= |D|b| ²

Можно найти еще два числа — "вероятности по траекториям", соответствующие ситуациям, когда одно из отверстий закрыто:

P_a=P_aDP_Sa и P_b =P_bDP_Sb.

Конструкция, построенная из этих вероятностей по правилам, действующим для амплитуд, будет неправильной. Другими словами:

А_SD=А_a+А_b=А_aDА_Sa +А_bDА_Sb

но

P_SDP_a+P_b=P_aDP_Sa +P_bDP_Sb

Эта неправильность не вытекает из каких-либо теоретических принципов или законов, а прямо следует из эксперимента. Другими словами, именно экспериментальные результаты заставляют нас пользоваться амплитудным формализмом. Разумеется, можно добиться согласия с экспериментом и на языке вероятностей, но при этом математический формализм, связывающий глобальную вероятность с локальными, должна быть совершенно иной и гораздо более сложной, чем приведено выше. Именно поэтому в квантовой механике предпочитают пользоваться амплитудным формализмом, а не вероятностным.

Рассмотрим вопрос о полной вероятности более детально. Глобальная амплитуда является суммой двух "амплитуд по траекториям", т.е. суммой двух комплексных чисел:

A_SD = (N/r₁)  e^it₁ + (N/r₂)  e^it₂

где r₁ иr₂— длины траекторий, аt₁иt₂— времена, затраченные на прохождение траекторий. Перепишем выражение в более простом виде:

A = |A₁|e^i₁ + |A₂|e^i₂

Соответственно, вероятность срабатывания детектора будет равна:

P = | A |² = A^*  A = ( |A₁|e^–i₁ + |A₂|e^–i₂ )  ( |A₁|e^i₁ + |A₂|e^i₂ ) =

= ( |A₁|²e^–i₁e^i₁ + |A₁||A₂|e^–i₁e^i₂ + |A₂||A₁|e^–i₂e^i₁ + |A₂|²e^–i₂e^i₂ ) =

= ( |A₁|² + |A₁||A₂|e^–i + |A₁||A₂|e ^i + |A₂|² ) =

= [ P₁ + P₂ + (P₁  P₂)^1/2  2  cos  ] = P₁ + P₂ + P

(здесь мы воспользовались двумя полезными соотношениями: е^xe^y=e^{(x + y)}иZ+Z* = |Z|2cos).

Таким образом, сфформулированные выше правила вычисления амплитуд приводят к тому, что при наличии альтернативных вариантов осуществления события глобальная вероятность не равна сумме локальных вероятностей — существует еще поправка P, которая обычно называется интерференционной.Величина интерференционной поправки (P) зависит от разности фаз по траекториям () и может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому следует различать два случая: деструктивную(P< 0) и конструктивную (P> 0) интерференцию амплитуд.

Вернемся к экспериментальному устройству и сформулируем задачу таким образом: как будет изменяться вероятность срабатывания детектора, если его перемещать параллельно экрану? График такой зависимости будет иметь следующий вид:

При перемещении детектора длины обеих траекторий будут закономерно изменяться. Соответственно, будут изменяться и фазы амплитуд, и их разность. В результате, интерференционная поправка будет периодически изменять свою величину, проходя через положительные, нулевые и отрицательные значения (P~cos). Поэтому вероятность срабатывания детектора будет изменяться колебательным (волновым) образом, иногда приобретая максимальное значение (точкаD), а иногда практически обращаясь в нуль (точкаD'). Положения максимумов и минимумов можно легко рассчитать чисто геометрическими средствами. Легко видеть, что они зависят от природы частиц (параметра) и относительного пространственного расположения источника, детектора и экрана с отверстиями. Некоторое уменьшение высоты максимумов при удалении от центрацильной точки (D) связано с возрастанием проходимого частицами расстояния и соответствующим уменьшением модулей амплитуд по траекториям (|A₁| и |A₂|).

Подчеркнем, что интерференционные эффекты наблюдаются только в таких ситуациях, когда событие может осуществляться несколькими альтернативными способами, выбор между которыми нельзя проконтролировать экспериментально. При исчезновении альтернативы исчезает и интерференция,так что если закрыть одно из отверстий в экране, то все максимумы и минимумы исчезнут, и будет наблюдаться только слабая и не периодическая зависимость вероятности от положения детектора, обусловленная только влиянием расстояния от источника до детектора на модули амплитуд (одна из двух пунктирных кривых).

Тот факт, что при исследовании пучков микроскопических частиц часто наблюдаются интерференционные эффекты, такие же, как в случае прохождения волн через малые отверстия, привел к введению термина "волновая природа микрочастиц". Очевидно, что этот термин не следует понимать буквально, поскольку волновой характер проявляют не сами частицы, а результаты производимых над ними измерений.

Рассмотренный выше пример легко обобщить на произвольный случай с любым числом альтернатив.

Вообще рассмотренные нами примеры дают универсальную методику описания на амплитудном языке любой физической ситуации. Каким бы сложным не было явление, его всегда можно разложить в совокупность альтернативных и последовательных элементарных событий, каждое из которых сводится к прямолинейному перемещению частицы между двумя точками пространства. Такая конструкция называется траекторной моделью. По известным правилам "перемножения" и "суммирования" локальных амплитуд мы всегда можем рассчитать полную амплитуду и, возведя ее в квадрат, предсказать вероятность явления. Иногда такие расчеты бывают чрезвычайно длинными и трудоемкими. Для таких случаев изобретено множество вспомогательных приемов, позволяющих ускорить вычисления, но не вносящих никаких принципиальных нововведений в рассмотренную схему.

Для иллюстрации этой схемы проанализируем еще несколько примеров, более реалистичных, чем предыдущие.