3.3. Амплитуды вероятности

Используя описанную методику, можно экспериментально исследовать множество свойств различных микрочастиц и микроструктур и затем описать результаты исследований на языке вероятностей и функций распределения, т.е. вывести множество уравнений состояния и эволюции. Однако опыт показывает, что такие "вероятностные уравнения" выглядят чрезвычайно сложно и их практическое использование весьма неудобно.

Решение этой проблемы достигается с помощью специального математического приема. Каждому событию, наряду с вероятностью сопоставляется еще одно вспомогательное число — амплитуда вероятности (обычно говорят просто "амплитуда"). Это позволяет каждое уравнение записать в двух вариантах — "через вероятности" и "через амплитуды":

уравнения состояния: P_i=f(P_j) иA_i=f (A_j)

уравнения эволюции: P_i=f(t) иA_i=f(t)

Смысл введения вспомогательной величины — амплитуды — заключается в том, что уравнения, записанные через амплитуды, выглядят гораздо проще и отличаются удобством практического применения. Поэтому, практически все теоретические конструкции в микромеханике формулируются на "языке амплитуд".

С понятием амплитуды связана одна математическая тонкость. В общем случае амплитуда представляет собой комплексное число. Правила обращения с комплексными числами имеют определенную специфику. Кратко сформулируем их.

1. Всякое комплексное число Zможно рассматривать как упорядоченную пару обычных чисел (a, b):

Z= (a,b) или Z=a+bi

Символ i, использованный во втором обозначении, называется мнимой единицейи его фактическая роль сводится к указанию на то, что именно числоbнаходится на второй позиции в паре (a,b).

2. Комплексные числа встречаются парами (аналогично положительным и отрицательным действительным числам) — каждому комплексному числу Zсоответствует сопряженноеему числоZ*. При этом выполняется соотношение:

Z* = (a, –b) или Z* =a–bi

3. Комплексное число Z=a+bi можно рассматривать как геометрический вектор. Для этого используется специальная модель — "плоскость комплексных чисел", имеющая две координатные оси, действительную и мнимую. Координатами вектораZна этой плоскости являются числааиb. Векторы, соответствующие паре сопряженных комплексных чисел, зеркально симметричны относительно действительной (горизонтальной) оси.

4. Из графического представления ясно следует, что комплексное число можно также описать парой других чисел — длиной вектора r(модуль)и углом его поворота относительно оси действительных чисел —(фаза). Модуль и фаза однозначно связаны с координатами вектора:

r² = a² + b² и tg  = b / a

a = r  cos  и b = r  sin 

Это позволяет построить полезную "тригонометрическую форму":

Z = (a, +b) = a + b  i = r  ( cos  + i  sin  )

Z* = (a, –b) = a – b  i = r  ( cos  – i  sin  )

5. Существует еще один способ изображения комплексных чисел — "экспоненциальная форма", в виде комплексной экспоненты:

Z = r  exp (i ) = r  e ^i

Z* = r  exp (–i ) = r  e^–i

Все представления комплексных чисел эквивалентны между собой, но отличаются в смысле удобства выполнения различных операций с ними. Так, сложение и вычитание удобнее выполнять с обычными формами:

Z₁ + Z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i

Z₁ – Z₂ = (a₁ – a₂) + (b₁ – b₂) i

Существует также графический способ сложения амплитуд, основанный на их векторном представлении. Для того чтобы найти сумму нескольких векторов, достаточно расположить их (посредством параллельного переноса) по типу "голова-хвост", а затем соединить "хвост" первого вектора с "головой" последнего. Пусть, например, имеется пять векторов (амплитуд):

Процесс суммирования будет выглядеть так (суммарный вектор выделен жирным):

Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнять с экспоненциальными формами:

Z₁  Z₂ = (r₁  r₂)  e ^i(₁ ^{+ }₂⁾

Z₁ / Z₂ = (r₁ / r₂)  e ^i(₁ ^{– }₂⁾

Важное значение имеет процедура вычисления квадрата модуля комплексного числа:

| Z |² = Z  Z* = (r  r)  e ^{i( – )} = (r  r) = r²

Легко видеть, что квадрат модуля любого комплексного числа является действительным числом.

После этого краткого математического отступления можно сформулировать важное правило квантовой механики: вероятность события равна квадрату модуля соответствующей амплитуды вероятности:

р_i=A_iA_i* = |A_i|².

Соответственно, любая вероятностная функция, например, вида р(x,y,z), может быть найдена как квадрат модуля соответствующей амплитудной функции:

р (x, y, z) = A(x, y, z)  A*(x, y, z) = | A(x, y, z) |².

Таким образом, используя простые по форме уравнения квантовой механики, можно вычислять амплитуды событий и амплитудные функции. Затем, используя операцию возведения в квадрат, можно найти соответствующие вероятности и вероятностные функции, которые и дают интересующие нас сведения о характере движения электрона в атоме или молекуле. Именно таким способом можно установить связь между теорией и экспериментом в микромеханике.