Лекции / Лекции (ЭКТ-2, Бардушкин) / Лекции в Word (2003) / Лекция 09

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Лекция № 9

Найдем важнейшие числовые характеристики .

Воспользуемся производящей функцией

Возьмем производную по S.

Пример.

Передается 5 сообщений по каналу связи (n = 5). Каждое сообщение с вероятностью p = 0,3, независимо от других искажается. СВ Х – количество искаженных сообщений. Построить ряд распределения, МО, D_X, _X, моду, а также вероятность того, что будет искажено не менее двух сообщений.

Y	0	1	2	3	4	5
P
	0,168	0,36	0,309	0,133	0,028	0,002

.

.

.

.

.

§ 2. Распределение Пуассона

Определение. СВДТ Х имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, m, … (счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой .

Замечание.

Закон Пуассона зависит только от a, смысл этого параметра состоит в следующем, он одновременно является МО и дисперсией СВ Х.

Рассмотрим условия, при которых возникает Пуассоновское распределение. Покажем, что оно является предельным, для биноминального распределения при n и одновременно р0, но nра (а~0,1–10).

Теорема (Пуассона).

Если n, р0, но npа, то  фиксированного значения m, где m=0,1,…

.

Доказательство.

 фиксированного значения m.

.

Комментарии:

Так как n-велико, а вероятность p - очень мала, то в каждом отдельном опыте “успех” приходит редко.

Поэтому закон Пуассона в литературе называется законом редких явлений.

Пример.

Завод отправил на базу n=5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится p=0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение.

n=5000.

p=0,0002.

Имеются специальные таблицы, с помощью которых можно найти .

§ 3. Простейший Пуассоновский поток

На практике часто встречаются ситуации, где имеет место распределение Пуассона.

Задача.

Пусть на оси времени 0t случайным образом возникают точки моменты появления каких-то однородных событий. (Например, вызовы на телефонной станции, приход посетителей в магазин и т.д.)). Последовательность таких моментов назовем потоком событий.

Предположим, что поток обладает следующими свойствами.

Свойства.

1. Стационарность.

Это свойство означает, что вероятность попадания, того или иного числа событий, на участок времени длиной  не зависит от того, где на оси 0t расположен этот участок, а зависит только от его длины .

Из этого следует, что среднее число событий, появляющееся в единицу () времени , постоянно.

 – интенсивность потока.

2. Ординарность.

Это свойство заключается в том, что вероятность попадания на малый участок t двух или более событий пренебрежимо мала с вероятностью попадания на него одного события.

Т.е. при t0 вероятность двух или более событий является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем вероятность попадания на него одного события.

3. Отсутствие последствия.

Это свойство означает, что вероятность попадания некоторого числа событий на заданный участок оси 0t не зависит от того сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним участок (в частности “будущее” потока не зависит от его “прошлого”).

Определение. Поток событий, обладающий этими 3-мя свойствами называется простейшим (или стационарным) Пуассоновским потоком.

Покажем, как простейший Пуассоновский поток связан с распределением Пуассона.

СВ Х – количество событий, попадающих на участок 0t, длиной .

Покажем, что Х имеет распределение Пуассона.

Доказательство:

Разделим участок длины  на n равных частей .

МО числа событий, попадающих на элементарный участок t, равно . Согласно свойству 2 (ординарности) можно пренебречь вероятностью попадания на элементарный участок t, двух или более событий.

Назовем элементарный участок t – занятым, если на нем появилось событие из потока.

Назовем элементарный участок t – свободным, если на нем не появилось событие из потока.

A = {участок t занят}

– вероятность того, что участок t занят.

Среднее число, то есть МО числа событий, попадающих на участок длины t, будет равно .

.

Рассмотрим теперь n-участков на временной оси, как n-независимых испытаний (опытов), в каждом из которых (независимость этих испытаний  из свойства 3) может появиться событие А и вероятность этого события . Число занятых элементарных участков – это и есть Х.

СВ Х имеет биномиальное распределение

.

Будем теперь неограниченно увеличивать число элементарных участков и найдем при .

Согласно теореме Пуассона, при ,

Пример.

На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью =0,8 (вызовов/мин). Найти вероятность того, что за 2 минуты:

а) не придет ни одного вызова;

б) 1 вызов;

в) хотя бы 1 вызов.

Решение.

Х – количество вызовов за 2 минуты.

а) .

б) .

в) .