Лекции / Лекции (ЭКТ-2, Бардушкин) / Лекции в Word (2003) / Лекция 06

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Лекция № 6

Из равенства следует, что в точках разрыва функции имеет место положительная вероятность.

Так как при каждом натуральном n может быть не более n-точек x с вероятностями , то у функции имеется не более счетного числа точек разрыва.

Обозначим через все точки разрыва функции , если вероятности таковы, что , то это равносильно тому, что СВ X имеет дискретное распределение, то есть является СВДТ.

Замечание.

Для СВДТ имеет ступенчатый вид.

Пример.

X	-3	-1	0	2	3
P	0,1	0,3	0,1	0,3	0,2

Получить функцию распределения и построить ее график.

Решение.

Введем новое важное понятие индикатора события.

Определение. Индикатором события A  A называется СВ .

Ряд распределения случайной величины имеет следующий вид

IA	0	1
P	1–p	p

где р-вероятность события А.

Многоугольник распределения

Функция распределения

§3. Непрерывная СВ. Плотность распределения.

Определение. Функция есть плотность распределения СВ X, если

(***)

Из определения (***) следуют свойства плотности распределения.

Свойства

1.

Замечание.

Для СВ X имеющей функции. Плотности из свойства 1 и теоремы из курса математического анализа (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом)  что непрерывна.

2. в точках непрерывности .

3. .

4. , т.к. неубывающая функция, то .

5. Условия нормировки:.

Определение. СВ X называется СВНТ, если ее распределение имеет функцию плотности .

Через плотность можно выразить любую вероятность

.

Примеры.

I.

1. a – ?

2. и построить ее график – ?

3. 

Решение.

1. Так как непрерывная в точке 1 и , то .

2. 

3. 

II.

1. a – ?

2. и построить ее график – ?

3. – ?.

1).

2)

1.

2.

3.

3)