Лекции / Лекции (ЭКТ-2, Бардушкин) / Лекции в Word (2003) / Лекция 07,08

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава IV. Числовые характеристики случайных величин

Лекция № 7

§ 1. Математическое ожидание

Пусть вероятность P на конечном вероятностном пространстве (, A , P) определяется с помощью элементарных вероятностей .

Определение. МО случайной величины называется сумма .

Замечание.

В литературе математическое ожидание часто называют средним значением X.

Из определения МО –­ вытекают следующие свойства :

Свойства

1. .

Доказательство:

.

2. Аддитивность: .

Доказательство:

.

Замечание.

Из свойства 2 по индукции выводится свойство конечной аддитивности.

3. .

Доказательство:

.

.

4. Если , то .

Доказательство:

По свойствам 2 и 3

.

5. МО СВ X выражается через ряд распределения СВ X с помощью формулы

Доказательство:

Так так СВ , тогда .

Пусть – некоторая числовая функция, подставляя вместо аргумента x СВ Х, получим новую СВ

– ?

1 способ. С помощью закона распределения Y;

2 способ. С помощью формулы

.

Докажем формулу для .

.

Все дальнейшие выкладки повторяют свойство 5.

Пример.

X	-1	0	1	2
P	0,1	0,2	0,3	0,4

а) – ?

б) Найти двумя способами, где Y= X².

Решение

.

Y	0	1	4
P	0,2	0,4	0,4

1 способ: .

2 способ: .

Статистическое истолкование МО.

Пусть в некоторой лотерее имеется 1 выигрыш , размер которого случаен и равен . Если лотерея проводится N-раз, причем выигрыш выпадает N_i-раз. , – относительная частота выигрыша . – средний выигрыш на одну лотерею.

Х – СВ равная размеру выигрыша в одной лотерее.

– из статистической устойчивости частот. Поэтому средний выигрыш колеблется около МО.

.

Пусть теперь вероятностное пространство (, A , P) не является конечным. Сформулируем без доказательства теоремы, по которым вычисляются и .

1. Х – СВДТ.

Теорема.

Если Х принимает счетное множество значений с вероятностями и ряд сходится абсолютно, то .

Если – числовая функция и ряд сходится абсолютно, то .

2. Х – СВНТ.

Теорема.

Если СВ Х имеет плотность и (сходится), то .

Если функция – непрерывна и , то .

§ 2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение

МО в теории вероятностей относится к типу характеристик положения (см. далее мода, медиана), кроме них используется еще ряд числовых характеристик различного назначения, среди них особое значение имеют моменты (начальные, центральные).

Положим .

Определение. Начальным моментом S-го порядка СВ Х называется .

Замечание.

Иногда используются абсолютные начальные моменты S-го порядка .

Для СВДТ:

Для СВНТ: .

Замечание.

– начальный момент 1-го порядка.

Обозначим .

Определение. Центральным моментом S-го порядка называется .

Замечание.

Иногда используются абсолютные центральные моменты S-го порядка.

.

Для СВДТ:

.

Для СВНТ:

.

Определение. Центральный момент II-го порядка () называется дисперсией СВ Х и обозначается .

Для СВДТ:

.

Для СВНТ:

.

Определение. – называется средним квадратическим отклонением СВ Х (стандартным отклонением в литературе).

Свойства дисперсии:

1. .

Доказательство:

.

2. .

Доказательство:

.

(*).

По свойству 4 МО и с учетом неравенства (*) получаем доказательство свойства 2 для дисперсии.

3. .

Доказательство:

Лекция № 8

Пример.

X	-1	0	1	2
P	0,1	0,2	0,3	0,4

1) Способ.

2) Способ.

Дисперсия СВ Х является характеристикой рассеивания, то есть она характеризует разбросанность СВ Х около ее МО.

Дисперсия имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно, поэтому очень часто используется среднее квадратическое отклонение, которое имеет размерность самой СВ.

Механическая интерпретация МО и дисперсии.

Пусть на прямой в точках расположены точечные массы .

– центр тяжести.

– момент инерции масс относительно центра тяжести.

Таким образом, МО характеризует место, вокруг которого группируются массы , а дисперсия – степень разбросанности этих масс относительно МО.

Пример.

IA	0	1
P	q	p

.

§ 3. Мода, медиана и квантили

МО не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей.

Определение. Модой СВДТ Х называется такое возможное значение , для которого .

Модой СВНТ Х называется действительное число , являющееся точкой максимума функции плотности вероятностей .

Пример.

X	0	1	2	3	4
P	0,05	0,3	0,25	0,2	0,2

Замечание.

Мода может не существовать, иметь единственное значение, такие распределения называются унимодальное, или иметь множества значений – полимодальное распределение.

Наличие более чем одной моды, часто указывает на разнородность статистического материала, который положен в основу исследований.

Определение. Медианой СВ Х называется действительное число , удовлетворяющее условию: , то есть это корень уравнения .

Эта характеристика применяется, как правило, только для СВНТ и геометрически медиана, это абсцисса той точки на оси ОХ, для которой площади под графиком лежащие слева и справа от нее одинаковы и равны .

Замечание.

В случае симметричного распределения (имеющего моду) три характеристики: 1) МО ; 2) мода; 3) медиана совпадают.

Замечание.

Уравнение может иметь множество корней, поэтому медиана может определяться неоднозначно.

Определение. Квантильлью порядка р распределения СВНТ Х называется действительное число , удовлетворяющее уравнению .

Замечание.

Медиана – квантиль порядка 0,5.

§ 4. Целочисленные СВ и их производящие функции

В ряде случаев при определении важнейших числовых характеристик дискретных СВ может помочь аппарат производящих функций.

Определение. Дискретную СВ Х, принимающую только целые, неотрицательные значения называют целочисленной СВ.

Закон распределения целочисленной СВ определяется .

Закон распределения целочисленной СВ удобно изучать с помощью производящей функции, которая определяется, как

.

В соответствии с определением МО: .

Этот ряд сходится абсолютно при .

Поскольку , то между законом распределения и производящими функциями устанавливается взаимноодноз-начное соответствие.

Замечание

– вероятностная производящая функция.

В математике рассматриваются произвольные производящие функции.

– производящая функция, если она имеет не нулевой радиус сходимости.

Замечание

.

Возьмем первую производную по S от производящей функции.

, подставим значение S = 1.

.

Возьмем вторую производную по S от производящей функции

.

.

.

То есть можно выразить начальные моменты более высокого порядка, через начальные моменты более низкого порядка.

Глава V. Некоторые важные для практики распределения дискретных СВ

§ 1. Биномиальное распределение

Определение. СВДТ Х имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, m, …, n, а соответствующие вероятности

Это распределение зависит от двух параметров: n, p.

В литературе .

Рассмотрим условия, при которых возникает биномиальное распределение.

Пусть производится n независимых опытов (испытаний), в каждом из которых событие А (“успех”) появляется с вероятностью p, СВ Х – это число успехов при n-опытах.

Комментарии.

Опыты называются независимыми, если вероятность какого-либо исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Покажем, что СВ Х имеет биномиальное распределение.

– это количество успехов в n опытах , равно m. Событие B распадается на ряд вариантов, в каждом варианте успех достигается m раз, а неуспех n–m раз.

Если успех ставим в соответствие 1.

Если неуспех ставим в соответствие 0.

m штук – “1”

n–m штук – “0”.

Так как опыты независимы, то каждый такой вариант имеет вероятность (по теореме умножения), а всего таких вариантов штук, причем все такие варианты несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий следует.