Лаб.раб. по механике / ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №13

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомиться с величинами, характеризующими систему, совершающую затухающие колебания.

ОБОРУДОВАНИЕ: экспериментальная установка, секундомер, штангенциркуль.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Система, совершающая малые колебания около положения равновесия, называется линейным осциллятором. Примером линейного осциллятора являются математический и физический маятники, если выполнено условие , где - угол отклонения от положения равновесия.

При отсутствии трения энергия осциллятора сохраняется. следовательно, он совершает незатухающие колебания. При наличии силы трения энергия осциллятора будет уменьшаться, а колебания станут затухающими.

Сила трения направлена против скорости. Для осциллятора ее действие эквивалентно уменьшению возвращающей силы, следовательно, амплитуда и частота колебаний должны уменьшаться, а период возрастать. При увеличении силы трения период может стать сколь угодно большим, при этом никакого колебания происходить не будет, потому что энергия осциллятора расходуется на преодоление сил трения на очень коротком пути, составляющем часть колебания. Такой вид движения называют апериодическим.

Сила трения, действующая на осциллятор, может определяться различными законами: быть постоянной – это трение скольжения, зависеть от скорости в первой или второй степени – это жидкое (вязкое) трение. Наиболее часто встречается случай, когда (т.е. ). Здесь - коэффициент сопротивления – величина, зависящая от вязких свойств среды, в которой происходят колебания, и формы тела. Для сферы, например, . Здесь - радиус сферы, а - коэффициент динамической вязкости среды. В данной работе учитывается такая сила трения.

В случае колебания протяженного тела его смещение от положения равновесия удобно определять углом, образованным некоторой прямой, проведенной в этом теле и проходящей через ось вращения, и неподвижной вертикальной прямой также проходящей через эту ось.

Если колебания затухающие, то как показывает расчет, зависимость угла поворота от времени имеет вид:

или

(13.1)

Здесь: 1) - амплитуда затухающего колебания. Из этого выражения следует, что амплитуда зависит от времени и уменьшается по экспоненциальному закону (следствия зависимости силы трения от скорости в первой степени), - отклонение тела от положения равновесия в момент времени . Графически зависимость изображена на рис.13.1. Для построения графика надо сначала построить экспоненту (она спадает тем круче, чем больше ), провести симметричную ей линию, а между ними построить убывающую синусоиду или косинусоиду.

2) -коэффициент затухания: он тем больше, чем больше величина ; - момент инерции маятника (см. приложение).

3) - угловая частота колебаний, Т – период колебаний. Расчет показывает, что , здесь - угловая частота незатухающих колебаний данного маятника. Очевидно, что < , а Т > Т_о.

4) и - начальная фаза колебаний.

Выясним физический смысл величин, характеризующих как затухающие колебания, так и саму колебательную систему.

1. Декрементом называют отношение двух соседних амплитуд , отстоящих во времени на период .

2. Логарифмическим декрементом затухания называют логарифм отношения двух амплитуд, отстоящих во времени на период - характеризует быстроту затухания колебаний.

3. Время затухания - время, в течение которого амплитуда уменьшается в раз . Отсюда .

4. Число колебаний, совершенных за время : .

5. Добротностью колебательной системы называют увеличенное в раз отношение полной энергии системы и энергии , рассеянной за период Т: , где . Так как ~, то ~, ~. , т.е. добротность колебательной системы обратно пропорциональна логарифмическому декременту . Коэффициент затухания , логарифмический декремент , добротность колебательной системы характеризуют интенсивность рассеяния энергии в колебательной системе. Знание их позволяет регулировать рассеяние энергии в системе. Эти понятия находят широкое применение и в радиотехнике.

ТЕОРИЯ МЕТОДА. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ

Используемый в работе физический маятник представляет собой диск, на котором неподвижно закреплены четыре массивных латунных цилиндра, для увеличения его момента инерции и пятый 2 – подвижный, который позволяет изменить положение центра масс относительно оси вращения и, следовательно, период колебаний маятника (рис.13.2). Все цилиндры имеют одинаковые геометрические размеры и одинаковую массу. Электрическая схема установки также показана на рис.13.2. От источника питания Е напряжение подается через делитель Д на потенциометр 3, закрепленный на оси вращения. Подвижный контакт 4 закреплен на подвижном диске физического маятника. Таким образом удается получить напряжение, изменяющееся во времени по тому же закону, что и угол отклонения маятника. Это напряжение направляется на электронный потенциометр, который записывает его на диаграммную ленту.

Каждому положению маятника соответствует определенное напряжение . В свою очередь, каждому значению напряжения, подаваемого на электронный потенциометр, соответствует строго определенное положение каретки пишущего механизма. Таким образом, на диаграммной ленте в некотором масштабе получается график зависимости отклонения маятника от времени.

ЗАДАНИЯ

1. Изучите теорию данного вопроса и ответьте на контрольные задания.

2. Изучите экспериментальную установку и порядок работы на ней.

3. Определение периода колебаний с помощью секундомера. Отклонив маятник на угол 10^о и включив одновременно секундомер, определяем время , в течение которого маятник совершает полных колебаний. Период колебаний равен . Аналогично найти периоды колебаний при начальном отклонении маятника на углы 20^о, 30^о, 40^о, 50^о, 60^о. Изобразите на графике зависимость от начального угла отклонения.

4. Запишите колебания маятника на диаграммную ленту: включив электронный потенциометр, прогрейте его в течение 10-15 минут, проверьте электрическую схему. Добейтесь такого положения, чтобы каретка занимала среднее положение (перо самописца находится на середине диаграммы, если маятник находится в положении равновесия). Отклонив маятник от положения равновесия на один из углов, указанных в п.3, одновременно отпускаем маятник и включаем мотор, приводящий в движение диаграммную ленту. Остановите мотор после полного прекращения колебаний.

5. Определение периода колебаний по графику. Измеряя штангенциркулем перемещение диаграммы за периодов и, зная скорость перемещения ленты , вычислите период по формуле

(13.2)

6. Вычисление логарифмического декремента колебаний. Измерьте штангенциркулем две амплитуды колебаний, отстающих на периодов и подсчитайте логарифмический декремент по формуле

(13.3)

7. Найдите добротность колебательной системы.

8. Определение положения центра масс физического маятника. Координаты центра масс системы материальных точек определяются по формулам . Здесь массы материальных точек, а их декартовы координаты соответственно. В данном случае задача упрощается, так как маятник обладает симметрией в расположении составляющих его тел. Если не учитывать цилиндра 2, то центр масс маятника будет на оси вращения, а с учетом цилиндра 2 на диаметре АВ и на расстоянии от оси вращения , определяемого по формуле

. (13.4)

Здесь - масса маятника без цилиндра 2, - масса цилиндра 2, а - расстояние между осями О и О₂. Массу тел, из которых состоит маятник, находим по обычной формуле , здесь - объем соответствующего тела, а - его плотность.

9. Вычисление момента инерции маятника (см. приложение). Момент инерции можно рассчитать по формуле

(13.5)

С другой стороны момент инерции маятника можно найти экспериментально, воспользовавшись формулой

, (13.6)

где - масса маятника, - расстояние от центра масс до оси вращения. Сравните полученные результаты.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Какие колебания называют гармоническими? При каких условиях они возникают? Привести примеры.

2. Какие колебания называют затухающими? При каких условиях они возникают и почему?

3. По какому закону может изменяться сила трения?

4. Изобразите графически зависимость , указав величину периода затухания колебаний.

5. Как зависит период затухающих колебаний от коэффициента затухания ?

6. Что понимают под временем затухания , логарифмическим декрементом затухания , добротностью колебательной системы ? Установите связь между ними.

7. Что называют физическим маятником? Как определяется период его колебаний?

8. Что такое момент инерции тела? В чем заключается теорема Штейнера?

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Как известно, при прямолинейном движении тела его инертные свойства (способность сохранять покой или движение без изменения) определяются массой. При вращательном или колебательном (это часть вращения) движении для характеристики этого свойства одной массы недостаточно. Оказывается надо знать, как она распределена в теле относительно оси вращения. Для этого вводится новая характеристика – момент инерции тела относительно оси вращения. Для простейшего объекта – материальной точки момент инерции относительно оси вращения равен , здесь - масса материальной точки, а - ее расстояние до оси вращения. Из этой формулы следует, что чем дальше материальная точка будет находиться от оси вращения (т.е чем больше ), тем больше ее инертность во вращательном движении (при неизменной массе). Момент инерции твердого тела как системы материальных точек естественно определить соотношением . Здесь - масса материальной точки, находящейся на расстоянии от оси вращения. Для практического вычисления моментов инерции эта формула неудобна. Методами дифференциального и интегрального исчисления можно показать, что момент инерции, например, сплошного диска (цилиндра) относительно его геометрической оси равен , где - масса диска, - его радиус.

2. Если ось вращения не совпадает с геометрической осью (т.е. не проходит через центр масс), то момент инерции относительно такой оси вычисляется с помощью теоремы Штейнера: . Здесь - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; - момент инерции относительно оси, параллельной первой, но смещенной на расстояние ; - масса тела. Например, для диска, изображенного на рис.13.3, имеем: .

3. Если тело состоит из нескольких тел, то его момент инерции равен сумме моментов инерции отдельных тел (как масса сложного тела равна сумме масс отдельных тел).

4. В связи со сказанным, период колебания данного физического маятника будет равен:

(13.5)

Здесь: - момент инерции диска относительно оси вращения;

- момент инерции каждого из пяти цилиндров относительно их геометрической оси;

- расстояние от оси вращения до неподвижных дисков;

- расстояние от оси вращения до подвижного диска.

5. Физический маятник – это любое тело, способное колебаться вокруг некоторой оси. Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника. Период колебания физического маятника определяется по формуле

(13.6)

Здесь - момент инерции маятника;

- его масса;

- расстояние от оси колебания до центра масс маятника.

Если - ось колебания проходит через центр масс, то ∞ -тело не колеблется. Кстати, для математического маятника , - длина маятника и получим .