ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11

Сложение гармонических колебаний

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить движение точки, участвующей в двух гармонических колебаниях.

ОБОРУДОВАНИЕ: экспериментальная установка.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Колебательным движением называется всякое движение, характеризующееся той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение.

С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменных токов, качаний маятников, струн, мостов и других сооружений, подвергающихся переменной нагрузке и т.д. Оказывается, что существует общность математических методов их исследования Поэтому основные законы учения о механических колебаниях, которые рассматриваются в курсе механики, образуют фундамент для изучения различных видов колебаний в последующих разделах физики.

Колебательное движение называется периодическим, если значения физических величин, характеризующих колебание, повторяются через равные промежутки времени. Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания.

Гармоническим колебательным движением называют такое движение, при котором любая физическая величина изменяется с течением времени только по закону синуса или косинуса, т.е.

или , (11.1)

причем с течением времени не изменяются.

В случае механических колебаний выясним смысл величин, входящих в (11.1).

- смещение тела из положения равновесия в данный момент времени .

- максимальное смещение тела из положения равновесия (амплитуда).

- фаза колебаний, позволяющая определить смещение в данный момент времени.

- начальная фаза колебаний. Фаза измеряется в радианах.

- циклическая частота – число полных колебаний, которое совершает тело за секунд.

Периодом гармонических колебаний называют тот наименьший промежуток времени , по истечении которого повторяются значения всех физических величин (как по направлению, так и по модулю), характеризующих колебания.

Из определения периода и уравнения (11.1) следует, что за время фаза колебаний изменяется на радиан.

Частотой колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за единицу времени .

Графически зависимость имеет вид:

В ряде случаев тело может одновременно участвовать в нескольких колебаниях.

1. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим случай, когда материальная точка М одновременно участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковыми частотами в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат хоу, расположив начало координат в положении равновесия точки. Пусть уравнения исходных колебаний имеют вид:

(11.2)

Исключая из (11.2) параметр , получим уравнение траектории результирующего колебания.

(11.3)

(11.4)

Умножим (11.3) на а (11.4) – на и вычтем:

(11.5)

Умножим теперь (11.3) на , а (11.4) – на , вычитая, получим:

(11.6)

Возведя в квадрат (11.5) и (11.6), сложим их почленно:

(11.7)

-уравнение траектории результирующего колебания.

Рассмотрим частные случаи.

1. Пусть , тогда (11.7) примет вид:

(11.8)

Из (11.8) следует, что материальная точка М колеблется вдоль прямой (рис.11.2а)

С₁(х₁,у₁)

Рис.11.2. Вид траектории результирующего колебания при разном значении разности начальных фаз.

2. Пусть . тогда (11.7) примет вид:

(11.9)

Из (11.9) следует, что точка М колеблется вдоль прямой, лежащей в других квадрантах (рис.11.2б)

3. Пусть . тогда (11.7) примет вид:

(11.10)

Точка М движется по эллипсу с полуосями и (рис.11.2в). Направление движения зависит от знака . В самом деле, пусть , тогда и (11.1) примет вид:

(11.11)

В момент времени

(положение С₁ на рис.11.2в).

При возрастании времени на “” будет уменьшаться, оставаясь положительным, а “” , оставаясь отрицательным, будет увеличиваться по модулю. Точка М перейдет в положение С₂ ( рис.11.2в). Таким образом точка М движется по часовой стрелке.

Пусть , тогда движение точки М по эллипсу будет происходить против часовой стрелки (докажите).

Очевидно, что при равенстве амплитуд эллипс превращается в окружность. Все остальные разности начальных фаз, кроме рассмотренных, дают эллипсы, не приведенные к осям и .

Различные кривые, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний, принято называть фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз колебаний.

В простейших случаях частоты двух взаимно перпендикулярных колебаний можно сравнить по числу касаний фигуры Лиссажу сторон прямоугольника, куда они вписаны.

Рис.11.3. Фигуры Лиссажу, возникающие при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с различными частотами.

Фигуры Лиссажу удобно наблюдать на электронном осциллографе, если подать переменное напряжение и соответственно на его горизонтальные и вертикальные пластины . При этом электронный луч, участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, на экране осциллографа прочертит соответствующую траекторию результирующего колебания ( рис.11.4).

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. МЕТОДИКА НАБЛЮДЕНИЯ ФИГУР ЛИССАЖУ

1. Для наблюдения фигур Лиссажу собирают установку по следующей схеме (рис.11.5), состоящую из звукового генератора и электронного осциллографа. С этой целью необходимо:

1). На передней панели электронного осциллографа соединить «контрольный сигнал» с «входом» вертикально отклоняющихся пластин «». В этом случае на горизонтальные пластины будет подано переменное напряжение с постоянной частотой .

2). «Вход» горизонтально отклоняющих пластин «» соединить с клеммой «50 Ом» на звуковом генераторе.

Рис.11.5. Схема соединения звукового генератора и электронного осциллографа для получения фигур Лиссажу.

Вращением рукоятки лимба на звуковом генераторе осуществляется подача напряжения с переменной частотой на горизонтально отклоняющиеся пластины «».

3). Включить тумблер «сеть» на звуковом генераторе и электронном осциллографе. Подождать 5 минут пока прогреются приборы.

4). Рукоятками «яркость» и «фокус» добиться четкого изображения светящегося пятна на экране осциллографа. Рукоятками ось «» и ось «» перевести светящееся пятно на середину сетки экрана электронного осциллографа.

5). Рукоятками «усиление », «усиление » на осциллографе получить фигуру Лиссажу так, чтобы ее размеры не выходили за пределы сетки на экране электронного осциллографа.