Лаб.раб. по механике / Лабораторная работа № 17

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №17

ОПЫТНАЯ ПРОВЕРКА УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: проверить уравнение Бернулли для потока реальной жидкости (воды).

ОБОРУДОВАНИЕ: экспериментальная установка, мерный сосуд, секундомер.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Раздел физики, в котором рассматриваются законы равновесия и движения жидких и газообразных тел, а также их взаимодействие с твердыми телами, называется гидроаэромеханикой.

Движение жидкостей или газов называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости или газа называют потоком. В гидроаэродинамике отвлекаются от молекулярного строения жидкостей и газов, рассматривая их как сплошную среду. При этом ради краткости называют газ и жидкость одним термином – жидкость, которую в зависимости от условий считают несжимаемой (плотность жидкостей можно считать не зависящей от давления) или сжимаемой (плотность газов зависит от давления и при больших скоростях сжимаемостью газов пренебречь нельзя: при <100 м/с пренебрежение сжимаемостью газов приводит к ошибке, не превышающей 5%).

Основным методом описания движения частиц в гидроаэродинамике является метод Эйлера, состоящий в задании зависимости вектора скорости течения жидкости в различных точках пространства от координат этих точек (x, y, z), времени t, т.е.

Где - радиус-вектор, проведенный из начала координат в рассматриваемую точку.

Течение жидкости, при котором скорость жидкости в каждой точке пространства, занятого жидкостью, не изменяется с течением времени, называют стационарным или установившимся, т.е.

Для наглядности движение жидкости изображают с помощью линий тока – это линии, касательные к которым совпадают по направлению с векторами скоростей жидкости в соответствующих точках пространства

Изображая поток, условились проводить линии тока так, чтобы их густота (число линий, пронизывающих единицу площади поверхности, проведенной в потоке перпендикулярно к линиям тока) была численно равна скорости частиц потока в данном сечении.

Поверхность, которая образована линиями тока, проведенными через все точки замкнутого контура, называют трубкой тока. Часть жидкости, ограниченная трубкой тока, называют струей. При стационарном (установившемся) течении трубки тока не изменяются с течением времени и частицы жидкости все время остаются в пределах определенной струи.

Течение жидкости называют ламинарным (слоистым), если поток представляет собой слои, не перемешивающиеся между собой при движении.

Течение называют турбулентным, если имеет место перемешивание различных слоев жидкости или газа вследствие образующихся завихрений.

В реальных жидкостях течение усложняется тем, что между отдельными слоями потока возникает внутреннее трение. Однако в ряде случаев влияние внутреннего трения невелико и им можно пренебречь. Жидкость, в которой отсутствует внутреннее трение, называют идеальной жидкостью.

Опыт показывает, что при течении жидкости в широких и коротких трубках и каналах, а также при обтекании жидкостями твердых тел, имеющих удобообтекаемую форму (крыло самолета), влияние сил внутреннего трения проявляется лишь в тонком пограничном слое жидкости, который непосредственно прилегает к поверхностям труб, каналов и обтекаемых тел. Вне пограничного слоя течение реальной жидкости незначительно отличается от течения идеальной жидкости. Поэтому, изучая движение идеальной жидкости, можно установить ряд закономерностей, которые с известным приближением применены к течению реальной жидкости. Это приближение тем более точно, чем меньше вязкость жидкости. Многие жидкости (вода, спирт) в обычных условиях обладают сравнительно небольшой вязкостью, вязкость же газов вообще незначительна.

Движение идеальной жидкости подчиняются целому ряду закономерностей. Рассмотрим некоторые из них.

УРАВНЕНИЕ (ТЕОРЕМА) НЕРАЗРЫВНОСТИ струи

Рассмотрим стационарное движение идеальной жидкости по трубе переменного сечения (рис. 17.2)

Пусть в сечении S₁ скорость и плотность жидкости будет и , а в сечении S₂ - и . За малый промежуток времени (такой, чтобы скорости частиц, проходящих S₁ и мало отличались друг от друга) частицы жидкости, находящиеся в сечении S₁ сместятся на и займут положение , а частицы жидкости в сечении S₂ сместятся на и окажутся в . При стационарном течении маса жидкости, прошедшая через любое сечение за определенное время, будет одинакова, т.е.

(17.1)

(17.2)

(17.2) – уравнение (теорема) неразрывности струи: для идеальной жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова.

Если , т.е. жидкость несжимаемая, то из (17.1) следует

или (17.3)

- уравнение (теорема) неразрывности струи для идеальной несжимаемой жидкости: для идеальной несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова.

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. Применим к этому течению закон сохранения энергии, при этом будем пренебрегать теплообменом, который может происходить между частями с окружающей средой. Будем считать температуру жидкости неизменной.

Выделим в жидкости узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости, занимающей объем МНДС.

Пусть эта часть жидкости за переместилась в бесконечно близкое положение . При перемещении границы в положение совершается работа , где - площадь сечения трубки тока на границе , - величина перемещения.

При перемещении границы в положение силы давления препятствуют движению выделенного объекта жидкости и совершают работу

(17.4)

Работа сил давления и будет равна:

Из рис. (17.3) видно, что - объем жидкости , заключенной между границами и .

Если плотность жидкости обозначить через , то можно записать

или .

Проведя аналогичные рассуждения для жидкости , заключенной между границами и в объеме , можно записать

.

С учетом сказанного уравнение (17.4) примет вид:

По закону сохранения массы имеем: , и для работы окончательно получим:

(17.5)

Эта работа должна быть равна приращению полной энергии выделенной части жидкости, т.е.

(17.6)

В виду стационарности течения энергия жидкости в объеме не изменилась, поэтому величина равна разности энергии массы жидкости в положениях и , т.е. или с учетом (17.6) будем иметь:

(17.7)

Так как жидкость несжимаема, то полная энергия жидкости массы складывается из кинетической энергии и ее потенциальной энергии в поле силы тяжести (внутренняя энергия и энергия, зависящая от сжатия жидкости, не изменяются).

Тогда (17.7) примет вид:

или

(17.8)

Так как сечение вдоль данной трубки тока были выбраны произвольно, то индексы в (17.8) можно опустить:

(17.9)-

уравнение Бернулли. Здесь:

- кинетическая энергия единицы объема жидкости (называют динамическим давлением);

- гидростатическое давление, обусловленное силами упругости в жидкости;

- статическое давление.

Тогда уравнение (17.4) можно прочитать так:

При стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости сумма динамического, гидростатического и статического давлений вдоль данной трубки тока (линии тока) есть величина постоянная.

Пусть в уравнении (17.8) , тогда можно записать:

(17.10)

Сумму динамического давления и статического называют полным давлением. Тогда уравнение (17.10) можно прочитать так:

При стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости полное давление вдоль данной трубки тока (линии тока) остается неизменным.

Очень часто с помощью эксперимента поверяется не само уравнение Бернулли, а какое-то следствие из него, в частности уравнение (17.10).

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. ТЕОРИЯ МЕТОДА И МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ

На деревянной подставке (рис. 17.4) укреплена металлическая трубка переменного сечения. В широкой части диаметр ее равен , в узкой - .

Посредством резиновых трубок 4 и 5 система соединяется с водопроводным краном, мерным сосудом и ртутным манометром 3.

Разность давлений, создаваемая струей жидкости, имеющей скорость в узкой части, измеряется при помощи дифференциального ртутного манометра 3 и шкалы 2 с миллиметровыми делениями.

Объемным расходом жидкости (воды) называют объем жидкости, протекающей через данное сечение за единицу времени

(17.11)

Здесь - объем жидкости, - время, за которое этот объем жидкости прошел данное сечение трубки.

В уравнении (17.11) величины и можно легко определить экспериментально.

Теоретически объемный расход жидкости можно рассчитать, если воспользоваться уравнением Бернулли и уравнением неразрывности струи. В самом деле, пусть за время через сечение трубки диаметром пройдет объем жидкости

,

где - скорость жидкости в сечении . Тогда в единицу времени через сечение пройдет объем, численно равный расходу жидкости, т.е.

(17.12)

Так как трубка тока (металлическая трубка) расположена горизонтально , то уравнение Бернулли примет вид:

(17.13)

Запишем уравнение непрерывности

(17.14)

Решая совместно уравнения (17.13) и (17.14), получим для скорости жидкости в узком сечении выражение:

(17.5)

где - разность статических давлений, измеряемая манометром, или

,

где - плотность ртути, - плотность воды, - разность уровней ртути в манометре. Известно, что

,

где и - диаметры трубки тока в узкой и широкой ее частях. С учетом численных значений и выражение можно заменить, тогда (17.15) примет вид:

(17.16)

Формулу (17.12) для теоретического определения расхода жидкости с учетом выражения (17.16) можно записать в виде:

(17.17)

В данной лабораторной работе необходимо определить расход воды по (17.11), измерив его непосредственно, затем подсчитать его по (17.17) и сравнить их между собой – в этом и состоит опытная проверка уравнения Бернулли.

1. После проверки всей системы осторожно откройте водопроводный кран и установите перепад давлений, соответствующий показанию манометра Н=(20 50) делений. При установившемся течении жидкости по трубе (показания манометра не изменяются) при помощи секундомера измерьте время , в течение которого в колбу, подставленную под трубку, натекает объем воды и по (17.11) определите расход воды экспериментально.

2. Не меняя режима течения воды по трубе, запишите возникший при этом перепад Н уровней ртути в манометре и по (17.17) найдите расход воды.

3. Рассчитайте выражение и сделайте заключение о справедливости уравнения Бернулли в данном случае.

4. Упражнения 1 – 3 повторите при других значениях перепада ртути в манометре не менее 3 раз.

ЗАДАНИЯ

1. Изучите теорию, лежащую в основе данной лабораторной работы.

2. Ознакомьтесь с экспериментальной установкой и теорией метода, позволяющего опытным путем проверить уравнение Бернулли.

3. Определите расход жидкости экспериментально и по формуле (17.17).

4. Оцените погрешность измерения и .

5. Сделайте на основании полученных результатов вывод о применимости уравнения Бернулли к данному потоку жидкости (с учетом погрешностей измерения).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Что изучает гидроаэродинамика?

2. Дайте определение основных понятий гидроаэродинамики (течение, поток, стационарное движение, линии тока, трубка тока, струя, ламинарное и турбулентное течение, идеальная жидкость).

3. Получите и сформулируйте теорему неразрывности струи. Укажите область применимости уравнений (17.8) и (17.9).

4. Выведите уравнение Бернулли и проанализируйте его физическое содержание. Укажите область его применимости.

5. Что понимают под объемным расходом жидкости?

6. В чем заключается теория метода опытной проверки уравнения Бернулли в данной лабораторной работе?

7. Какое влияние на результат опытов оказывает вязкость жидкости? (Проанализируйте закон Пуазейля). Зависит ли перепад Н от вязкости жидкости и каким образом?

8. Используя табличные данные для коэффициентов вязкости жидкостей, укажите, какие жидкости в большей степени соответствуют понятию «идеальной жидкости», а какие – нет.

9. Какое давление измеряет манометр в данной работе? Как с помощью манометра убедиться в стационарности течения воды по трубке? (Ответ обосновать).

10. Указать несколько примеров технического применения уравнения неразрывности и уравнения Бернулли.

При Т=293 К (t=20°С) ρ₁=13545,9 (ртуть)

Т=293 К (t=20°С) ρ=998,2 (вода)