4. Линейная теория продольной качки корабля

Условия продольной качки корабля на волнении существенно отличаются от условий его бортовой качки по следующим причинам:

а) невозможно применить допущение о малости размеров корабля по сравнению с размерами волны, поэтому совершенно недопустимо пренебрежение кривизной волны на протяжении длины корабля;

б) велико взаимное влияние вертикальной и килевой качки друг на друга, так как собственные частоты этих видов качки весьма близки;

г) продольная качка в гораздо большей степени зависит от скорости хода корабля, чем бортовая качка в положении лагом.

При составлении уравнений продольной качки используем следующие основные допущения:

1. справедлив принцип суперпозиции (наложения) действующих на корабль сил. Согласно этому принципу отдельные категории сил не влияют друг на друга и их можно просто суммировать. Принцип суперпозиции достаточно точен при малых перемещениях, скоростях и ускорениях корабля, также при действии малых волн;

2. справедлива гипотеза плоских сечений. Результирующие гидроди-намических сил и моментов, действующих на различные участки длины корабля неодинаковы. Для приближенного их суммирования мы предполагаем, что плоскости действия всех видов гидродинамических сил параллельны плоскости мидельшпангоута, т.е. силы действуют в плоскостях шпангоутов. Тогда главный вектор и главный момент действующих сил могут быть получены путем суммирования этих сил и моментов, вычисленных для элементарных отсеков;

3. перемещения, скорости и ускорения корабля малы, так что можно пренебречь их произведениями;

4. обводы корабля в пределах изменения осадки прямобортны.

4.1. Вывод уравнений продольной качки корабля, стоящего на тихой воде

Для вывода уравнений продольной качки корабля, стоящего на тихой воде, возьмем элементарный отсек длиной dx на расстоянии х от плоскости Gyz в какой-то момент времени t , как это показано на рис. 4.1. Смещение ЦТ корабля будет равно и корабль повернется на угол .Отсек будет участвовать в переносном движении вместе с ЦТ и в относительном движении относительно оси Gy, проходящей через ЦТ. Поскольку качка мала, можно приближенно считать, и .

Рис. 4.1. Перемещение элементарного отсека при продольной качке

Объем отсека по начальную ватерлинию будет равен ,где -объем погруженной части шпангоута. Кроме этого объема под водой находится еще объем . Его высота равна , а величина - . Тогда сила поддержания, действующая на отсек, будет равна

. (4.1)

Скорость перемещения отсека и ускорение равны соответственно и , тогда сила сопротивления движению отсека будет

, (4.2)

где - коэффициент сопротивления вертикальной качке плоского шпангоута в сечении х, а сила инерции окружающей отсек воды -

, (4.3)

где - присоединенная масса плоского шпангоута.

Кроме сил гидромеханической природы на отсек будут действовать сила веса и сила инерции массы отсека .

Сумма всех сил, действующих на элементарный отсек, будет равна

(4.4)

Выражение в квадратных скобках дает интенсивность поперечной нагрузки на единицу длины корабля. Статический момент относительно оси Gy всех сил, действующих на отсек, можно записать в виде:

(4.5)

Кроме приведенных в этих выражениях сил на элементарный отсек дей-ствуют еще внутренние силы, создаваемые воздействием на него соседних элементарных отсеков, однако при интегрировании эти силы взаимно уничто-жаются.

Для корабля в целом сумма всех сил и моментов должна быть равна 0, т.е.

(4.6)

(4.7)

В уравнении (4.7) добавлен момент , возникающий из-за того, что ЦТ и центр величины (ЦВ) корабля расположены на разной высоте. Величина а - это превышение ЦТ над ЦВ.

Выпишем значения ряда интегралов в готовом виде, предполагая, что при чтении лекций преподаватель остановится на их выводах более подробно:

- вес корабля (весовое водоизмещение);

- статический момент сил веса, равный 0, так как начало координат находится в ЦТ корабля;

- момент сил инерции массы корпуса корабля;

- сила поддержания по равновесную ватерлинию;

- статический момент сил поддержания, равный 0 потому, что ;

- площадь ватерлинии;

- статический момент площади ватерлинии относительно оси Gy ;

- абсцисса ЦТ площади ватерлинии;

- момент инерции площади ватерлинии относительно оси Gy;

- коэффициент сопротивления вертикальной качке корабля;

- статический момент сил сопротивления качке корабля относительно оси Gy ;

- коэффициент сопротивления килевой качке корабля;

- присоединенная масса;

- статический момент присоединенной массы корабля отно-сительно оси Gy;

- момент инерции присоединенной массы корабля отно-сительно оси Gy.

Подставим значения интегралов в исходные выражения. Тогда получим

;

.

После приведения подобных членов и смены знаков окончательно получим

- (4.8)

соответственно уравнения вертикальной и продольной качки корабля на тихой воде без хода.

При написании (4.8) и (4.9) учтено, что и

,

где – продольный метацентрический радиус; - продольная мета-центрическая высота. В соответствии с рис. 4.2 , где- аппликата ЦВ корабля в координатах качки;- аппликата ЦТ в координатах качки;- аппликата ЦВ в координатах статики; - аппликата ЦТ в координатах статики.

Уравнения (4.8) разделяются при малых колебаниях и тогда получаются ранее описанные нами в п. 3.4 отдельные уравнения вертикальной и килевой качки на тихой воде.

Рис. 4.2. Определение величины а в разных системах координат