3.3. Общая система уравнений линейной качки корабля

В этом параграфе мы по–прежнему считаем корабль симметричным относи-тельно мидельшпангоута.

Из теоретической механики известны уравнения Лагранжа движения твердого тела. Выпишем их для случая качки:

. (3.6)

Если подставить все выражения для сил, действующих на корабль, получим

(3.7)

Силы ивзаимно уничтожаются.

Перенесем некоторые члены в левые части уравнений, оставив в правых только возмущающие силы и моменты. После приведения подобных членов общая линейная система 6 уравнений качки корабля на волнении будет иметь вид:

(3.8)

Уравнения записаны в соответствии с перечисленной выше нумерацией видов качки.

3.4. Качка корабля на тихой воде.

3.4.1. Собственные частоты и периоды качки корабля. Коэффициенты затухания

На тихой воде в правых частях уравнений (3.8) получаются нули, так как возмущающие силы и моменты отсутствуют.

Предположим, что в какой-то момент времени на корабль подействовало внешнее возмущение. После прекращения его воздействия корабль будет испытывать качку. Ввиду отсутствия восстанавливающих сил дополнительные виды качки будут представлять собой апериодические движения (смещения), т.е. не представляют с точки зрения качки практического интереса.

Уравнения основных видов качки будут

(3.9)

Разделим все члены уравнений на соответствующие первые коэффициенты:

(3.10)

Введем новые обозначения:

а) коэффициенты затухания соответственно вертикальной, бортовой и килевой качки

; (3.11)

б) собственные частоты соответственно вертикальной, бортовой и килевой качки

. (3.12)

С этими частотами связаны периоды вертикальной, бортовой и килевой качки соответственно

(3.13)

Таким образом, уравнения качки запишутся в приведенной (удобной для решения) форме:

(3.14)

Эти уравнения описывают затухающие колебания. Для наиболее интерес-ного случая бортовой качки решение будет иметь вид (рис. 3.5):

(3.15)

где А_ - начальная амплитуда; -фаза, характеризующая отстояние макси-мальной амплитуды от начала колебаний; -частота качки корабля на тихой воде (здесь учитывается, что ).

Рис. 3.5. Запись затухающих бортовых колебаний на тихой воде

3.4.2. Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания

Степень затухания колебаний характеризуется отношением соседних через период амплитуд - декрементом затухания

(3.16)

Это отношение называется декрементом затухания. Декремент затухания показывает во сколько раз каждое последующее колебание меньше предыду-щего.

Натуральный логарифм от этого выражения

(3.17)

называется логарифмическим декрементом затухания.

Введем безразмерный коэффициент затухания бортовой качки:

. (3.18)

Кстати, аналогичным образом можно ввести безразмерные коэффициенты затухания вертикальной и килевой качки

. (3.19)

Удобство использования безразмерных коэффициентов затухания состоит в том, что они практически не зависят от размеров плавающих объектов, т.е. одинаковы и для модели и для натурного корабля, что используется при проведении модельных экспериментов.

Из (3.17) следует, что

. (3.18')

Эта формула и применяется для определения безразмерных коэффициентов затухания как в модельных экспериментах, так и при натурных испытаниях. Сами коэффициенты затухания играют основную роль при расчетах характе-0истик качки на волнении, особенно резонансных амплитуд.

По записям затухающей качки можно определить и присоединенные массы модели и корабля. Если замерить по записи затухающих колебаний период, можно определить другую безразмерную величину , (3.20)

которая также не зависит от масштаба корабля и может определяться в мо-дельных экспериментах. Зная ее, можно рассчитать для корабля. Формула (3.20) получена из выражения для периода собственных колебаний.