FBI_Vdovin_1semestr / 18_Opredelenie_predela_predel_posledovatelnos

18.Определение предела, предел последовательности, функции.

Числовой последовательностью называется любое отображение множества натуральных чисел в числовое множество. ρ : N ↦ R.

Замечание. Задать последовательность – значит задать правило или формулу, по которой можно выписать любой член последовательности. Такая формула называется формулой общего члена.

ε – окрестность точки, ε > 0.

Предел последовательности xn (n ∈ N) равен a, или .

Если для любого ε > 0 найдется число no такое, что для всех больших номеров n > no, xn ,будет лежать в ε на окрестности точки а.

∀ ε > 0 ∃ no | ∀ n > no xn-a < ε.

Предел последовательности равен бесконечности, если для любого числа А найдется номер no такой, что для всех номеров, больших no, хn > A.

∀ A ∃ no | ∀ n > no хn > A.

Теорема1. Если предел существует, то он единственный.

Теорема2.(Теорема Коши) Если xn монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то предел существует.

Предел функции f(x), при х, стремящемся к а, равен b. или .

Для любой последовательности, стремящейся к а, новая последовательность стремится к b.