FBI_Vdovin_1semestr / 14_Krivye_vtorogo_poryadka

14.Кривые второго порядка.

Прямая называется асимптотой кривой, если кривая неограниченно приближается к ней при удалении в бесконечность.

Общее уравнение кривой второго порядка:

Теорема о кривых второго порядка. Алгебраическое уравнение второй степени задает на плоскости только одно из следующих множеств: эллипс, парабола, гипербола, пара прямых, одна прямая, одна точка, пустое множество.

1.Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек таких, что сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокусами эллипса, расстояние между ними обозначается 2с. Сумма расстояния от точки эллипса до двух фокусов обозначается 2а.

a и b – полуоси эллипса, 2a и 2b - оси эллипса,

e=c/a, e – эксцентриситет (показывает насколько эллипс отличается от окружности).

Замечание. Окружность является частным случаем эллипса, когда полуоси равны радиусу. Эллипс можно рассматривать как сжатую или растянутую окружность.

Свойства.

1).Эллипс ограничен на плоскости. |x|≤a, |y|≤b.

2).Эллипс симметричен относительно начала координат и относительно координат осей.

3).Оптическое свойство эллипса: если в одном из фокусов поместить источник света, то лучи, отраженные от поверхности эллипса соберутся в другом фокусе.

2.Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек таких, что разность расстояния до двух фиксированных точек постоянно. Фиксированные точки – это фокусы. Расстояние между ними обозначается 2с. Разность расстояния между ними обозначается 2а.

Замечание. Та ось гиперболы, которую гипербола пересекает, называется действительной, а другая мнимой. Ось ОХ – действительная, ось ОУ – мнимая. y= ±(b/a)*x – асимптоты гиперболы.

Две гиперболы, имеющие одинаковый основной прямоугольник называются сопряженными.

Оптическое свойство гиперболы: если в один из фокусов поместить источник света, то лучи, отраженные от поверхности гиперболы будут казаться исходящими из другого фокуса.

3.Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Прямая называется директрисой, точка – фокусом.

, d – директриса.

Оптическое свойство параболы: если в фокус параболы поместить источник света, то лучи, отраженные от поверхности параболы будут уходить в бесконечность параллельно оси симметрии.