FBI_Vdovin_1semestr / 12_Ponyatie_o_lineynoy_zavisimosti_nezavisimost

12.Понятие о линейной зависимости, независимости, линейности пространства.

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Линейные вектора U1, U2…Un называются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда существует не тривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю.

Вектора U1, U2…Un называются линейно независимыми, если любая линейная комбинация равна нулю тривиально.

Свойства.

1.Если среди векторов есть нулевой, то такое множество векторов линейно зависимо.

2. Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

3. Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

4. Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Понятие линейной зависимости является обобщением понятия коллинеарности и компланарности на произвольное количество векторов.

Максимально независимая система векторов называется базисом пространства. Коэффициенты разложения вектора U по базисам называются координатами вектора и в этом базисе.

Все базисы векторного пространства V имеют одинаковое количество векторов, и это число называется размерностью векторного пространства над множеством R.

Если V – n-мерное пространство, то любой вектор этого пространства однозначно записывается с помощью коэффициентов разложения по базису, поэтому любое векторное пространство можно заменить на декартово произведение коэффициентов.