FBI_Vdovin_1semestr / 1_Podstanovki_tsikly_ikh_chetnost

1.Подстановки, циклы, их четность.

Подстановки.

Подстановка n- го порядка - произвольное взаимно однозначное отображение множества первых n натуральных чисел.

Обычно подстановку изображают следующим образом: , что задает образы всех элементов: , и так далее. Также используют запись .

Элемент подстановки называется действительно перемещаемым, если

Циклы.

Циклической подстановкой или циклом называется такая подстановка что при повторении ее достаточное число раз всякий из действительно перемещаемых ею символов может быть переведен в любой другой из этих символов. Для обозначения цикла используют запись где t — число действительно перемещаемых символов подстановки, которое называется длиной цикла.

Циклы называются независимыми , если они не имеют общих действительно перемещаемых символов.

Любая подстановка из может быть разложена в произведение попарно независимых циклов. Такое представление определено однозначно с точностью до порядка перемножения циклов.

Цикл длины 2 называется транспозицией. Каждая подстановка может быть представлена в виде произведения транспозиций.

Четность подстановки.

Пусть — разложение подстановки в произведение транспозиций. Тогда число называется знаком (четностью) подстановки .

Подстановка называется четной , если и нечетной в противном случае.

Четность подстановки не зависит от способа разложения подстановки в произведение транспозиций.

Для двух подстановок и четность их произведения равна произведению четностей: .

Пусть — цикл длины L . Тогда его четность равна .

Пусть — разложение подстановки в произведение независимых циклов длин . Число называется декрементом подстановки .

Пусть — разложение подстановки в произведение независимых циклов длин . Тогда четность подстановки вычисляется по формуле .

Любая транспозиция — это нечетная подстановка.

Любая подстановка, в разложении которой на независимые циклы все циклы имеют нечетные длины четна, так как ее декремент — это сумма k четных чисел .