FBI_Vdovin_1semestr / 2_Opredelenia_opredelitelya_minora_algebraiche

2. Определения определителя, минора, алгебраического дополнения, правила.

Определи́тель (или детермина́нт) — Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.

Минор Mij – определитель, который получается из матрицы после вычеркивания строки с номером i и столбца с номером j.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется число Aij, равное

Теорема о разложении определителя по строке или столбцу.

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраическое дополнение.

Разложение по строке:

Разложение по столбцу:

Определение. Если все строки матрицы записать в виде столбцов, то полученная матрица называется транспонированной. Обозначается .

Свойства определителей.

1.Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной.

Следствие: все свойства определителя , которые выполняются для строк, будут выполняться и для столбцов.

2.Если две строки определителя поменять местами, то определитель изменит знак.

3.Если в определителе две строки равны, то определитель равен нулю.

4.Если в какой-либо строке имеется общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

5.Если какая-либо строка в определителе равна нулю, то определитель равен нулю.

6.Если к некоторой строке определителя прибавить другую строку, умноженную на некоторое число, то определитель не изменится.

Для матрицы детерминант вычисляется как .

Правило треугольника: определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, расположенных на главной и побочной диагоналях и в вершинах реугольников с основаниями параллельными диагоналям. Произведения элементов, расположенных на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными ей, берутся со знаком минус.

Правило четырехугольника: выбираем в матрице не нулевой элемент (лучше 1), с помощью которого будем получать ноли и назовем его разрешающим. Строка или столбец, в которых он стоит так же назовем разрешающими. Столбец или заполняем нулями, а разрешающую строку или столбец переписываем без изменения. Все остальные элементы пересчитываем по правилу четырехугольника.