l17_2014_02_26
.pdfЛекция 17 (26.02.2014)
Электроны в металлах. Введение в квантовую теорию
1.Квантовый электронный газ (T≠0)
2.Теплоемкость металлов
3.Теплоемкость электронного газа
4.Решеточная теплоемкость
5.Проводимость и теплопроводность металлов. Границы теории Зоммерфельда
Литература:
1.Ландау и Лифшиц, «Статистическая физика. Часть 1", том V, Глава 5.
2.Н. Ашкрофт и Н. Мермин, “Физика твердого тела”.
"Квантовый" электронный газ (T 0)
Функция распределения Ферми-Дирака
f ( )
1
e( )
kBT 1
Вероятность того, что в состоянии теплового равновесия идеального электронного газа при температуре Т состояние с энергией Е занято электроном
(T) - химический потенциал: свободная энергия в расчете на один электрон
T 0: |
lim f ( ) 1, |
, |
|
T 0 |
|
|
0, |
|
lim (kF ) F - уровень Ферми
T 0
Теплоемкость металлов
|
Cv |
|
U |
||
Теплоемкость при постоянном объеме: |
|
|
|
||
T |
|||||
|
|
|
V |
||
U - внутренняя энергия
Для диэлектрика важен только решеточный вклад в теплоемкость
В металле возможен также электронный вклад
Внутренняя энергия электронного газа - сумма по всем одноэлектронным уровням произведений энергии электронов Е(k) на их среднее число на данном уровне:
U 2 (k)f ( (k))
k
Плотность энергии (переходим от суммирования к интегрированию):
u |
1 |
|
|
|
|
(k) f ( (k))dk |
|||
4 3 |
||||
Вычислим плотность электронов
Для дискретных задач значение f(E(k)) можно трактовать как среднее число электронов на одноэлектронном уровне с импульсом k. Поэтому полное число электронов
N |
f ( (k)), а плотность электронов выражается как |
|||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
2 |
|
|
dk |
|
n |
|
|
f ( (k)) |
|
f ( (k)) |
|||
V |
|
3 |
||||||
|
V |
k |
4 |
|||||
Выражения для плотности электронов n и плотности энергии u имеют вид
|
dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F k |
учтем, что подинтегральное выражение |
2 2 |
|||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||||
3 |
зависит от k только через энергию: |
|
|||||||||||||||||||
2m |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перейдем к сферическим координатам |
dk 4 k2dk и выразим k |
||||||||||||||||||||
через Е: |
|
dk |
|
|
|
|
|
|
2 |
dk |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
F |
k |
|
|
k |
|
F( ) g( )F( )d , |
где |
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g( ) |
|
m |
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
>0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
g( ) 0 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
<0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
g( ) - плотность уровней (состояний)
1
g( )d число уровней в интервале от до dV
2k2
g(E) часто выражают через энергию Ферми F F
2m
|
3 |
|
n |
|
1 |
|
kF 3 2n 13 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
g( ) |
|
|
|
|
|
, |
>0 |
|
|
|
|
||||||
|
2 F |
F |
|
|
||||
g( ) 0 |
|
|
|
|
, |
<0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вблизи поверхности Ферми F : |
g |
3 n |
|
mkF |
||
|
|
|
|
|||
2 F |
2 2 |
|||||
Используем введенные обозначения |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u g( ) f ( )d |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
n g( ) f ( )d |
||
|
||
|
|
|
Эти уравнения справедливы для любой функции плотности состояний, вычисленной для совокупности невзаимодействующих фермичастиц
Аналитически такие интегралы не берутся. Можно считать их численно, сводить к табулированным интегралам (интегралы Ферми) или использовать приближения, специфичные для конкретных задач.
Приближение для металлов: T TF EF kB
T 0
комнатная температура для типичного металла
Распределение Ферми отличается от распределения при T=0 только в малой области шириной порядка kBT вблизи
Рассмотрим интегралы типа H f d
|
|
|
Отличие такого интеграла от его значения при Т=0 |
F |
|
|
H( )d |
|
|
|
|
|
|
|
определяется только видом функции H(E) вблизи |
|
|
Заменим функцию H(E) суммой нескольких первых членов ее разложения в ряд Тейлора при :
|
d |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||
H |
|
|
H |
|
|
|
|||
d |
n |
|
|
n! |
|
|
|||
n 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подстановка приводит к разложению Зоммерфельда (см. Ашкрофт и Мермин, приложение В). Обычно достаточно оставить лишь первый и (иногда) второй члены, которые выглядят так:
|
|
2 |
2 |
|
7 4 |
|
4 |
k |
|
6 |
||
|
|
|
|
T |
||||||||
H f d H d |
|
kBT |
|
H ' |
|
kBT |
|
H ''' O |
B |
|
|
|
6 |
|
360 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Используем разложение Зоммерфельда c точностью до первого члена для расчета теплоемкости металла при температурах, малых по сравнению с TF. Плотность электронов и плотность энергии:
|
2 |
kBT 2 g'( ) O(T4), |
|||
n g d |
|||||
6 |
|
||||
0 |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
||
u g d |
kBT 2 [ g'( ) g( )] O(T4) |
||||
|
|||||
0 |
6 |
|
|||
Из уравнений можно выразить , которое равно: (см. Ашкрофт и Мермим, стр. 59)
|
|
1 |
|
kBT |
|
2 |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и плотность энергии: |
|
u u0 |
|
2 |
kBT 2 g F , |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
где u0 - плотность энергии при T=0
Удельная |
|
|
u |
|
2 |
|
2 |
k |
T |
|||
теплоемкость |
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
||
ферми-газа: |
Cv |
|
|
|
|
|
kBT g( F ) |
|
|
|
|
nkB |
|
|
T V |
3 |
|
2 F |
|||||||
|
|
|
||||||||||
3 n g(EF ) 2 EF
Теплоемкость классического идеального газа: Cv0 3nkB /2
|
|
|
|
2 |
|
kBT |
|
|
|
Cv |
|
|
Cv0 |
||
|
|
3 |
F |
||||
|
|
|
|
|
|||
T 300K |
|
Cv ~ 0.01 Cv0 |
|||||
Электронная теплоемкость пропорциональна температуре. В металлах при
низкой температуре доминирует именно электронная теплоемкость и зависимость теплоемкости от температуры – линейная
При комнатной температуре решеточная теплоемкость существенно больше, что объясняет отсутствие наблюдаемого вклада в теплоемкость металла электронных степеней свободы.
Теплоемкость вырожденного электронного газа в металле (объяснение "на пальцах")
U Cv T V
Увеличение энергии электронов при повышении температуры от нуля связано с переходом части электронов из области шириной порядка kBT ниже EF в область шириной порядка kBT выше EF. Тогда число возбужденных электронов на единицу объема оказывается порядка ширины интервала энергии kBT, умноженной на плотность уровней g(EF).
Энергия возбуждения электрона |
~ kBT |
|
|
|
|
|
|
||||
Превышение плотности энергии над |
u |
~ g F kBT |
2 |
||||||||
плотностью энергии основного состояния |
|
||||||||||
|
2 |
kBT |
2 |
g F , |
Cv |
u |
~ kB2T g( F ) |
|
|||
u u0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
|
|
|
|
T V |
|
|||||