l16_2014_02_19

Лекция 16 (19.02.2014)

Электроны в металлах. Введение в квантовую теорию

1.Теплопроводность твердых тел

2.Теория Зоммерфельда. Квантовый электронный газ (T=0)

3.Граничные условия Борна-Кармана.

4.Плотность состояний

Литература:

1.Ландау и Лифшиц, «Статистическая физика. Часть 1", том V, Глава 5.

2.Н. Ашкрофт и Н. Мермин, “Физика твердого тела”.

Теплопроводность твердых тел

Уже во времена Друде был известен эмпирический закон Видемана -

Франца (1853 г.):

~T, где коэффициент теплопроводности,

проводимость

Таким образом

const - число Лоренца, характерное для каждого металла

T

Друде объяснил эту закономерность, предположив, что оба явления - электропроводности и теплопроводности связаны с переносом

электронов проводимости

Замечание: в диэлектриках этот механизм отсутствует, главным

механизмом переноса тепла является распространение упругих волн (фононов) в периодической решетке

Определение

Плотность потока тепла jq есть вектор, параллельный направлению потока тепла и равный по абсолютной величине количеству тепловой энергии, пересекающей за единицу времени единичную площадь, перпендикулярную потоку.

Закон Фурье

Для малых градиентов температуры jq T, где

- коэффициент теплопроводности

0, т.к. направление потока тепла противоположно направлению

градиента температуры

Решеточную теплопроводность можно рассматривать как перенос энергии в газе фононов (модель Энштейна и Дебая). Используем классическую формулу для теплопроводности в кинетической теории газа:

Здесь Сv - теплоемкость (фононного газа), v - средняя скорость (фононов),

l - средняя длина свободного пробега (фононов), - среднее время между столкновениями (с фононами и дефектами)

В рассмотренном нами ранее гармоническом приближении при распространении фононов отсутствует возможность каких бы то ни было столкновений.

Строгая теория теплопроводности кристаллов должна учитывать ангармонизм фононов, т.е. затухание упругих волн в результате их взаимодействия

Теплопроводность металлов в модели Друде

Согласно предположению Друде, скорость электрона после каждого столкновения соответствует локальной температуре, чем выше температура - тем большей энергией обладает электрон после столкновения.

При таких условиях всегда будет существовать суммарный тепловой поток, направленный в сторону области с более низкой температурой.

Действительно, даже если среднее значение скорости электронов равно нулю (электрический ток отсутствует), суммарный тепловой поток не равен нулю, так как электроны, приходящие из области с более высокой температурой имеют более высокие энергии.

Развивая эти представления в рамках классической статистической модели, Друде получил выражение, замечательно согласующееся с законом ВидеманаФранца. Однако при ближайшем рассмотрении согласие оказалось только качественным - он допустил две ошибки (в оценке теплоемкости электронного газа и среднего квадрата скорости электрона), которые компенсировали друг друга.

Корректная теория тепловых свойств свободного электронного газа возможна только с использованием квантовой статистики. Законы

классического идеального газа неприменимы для электронного газа в металле.

T0 - температура, определяемая из условия нормировки: n fF (v)dv

A&M:

Распределения Максвелла-

Больцмана и Ферми-

Дирака при комнатной температуре и типичной металлической плотности. Масштаб одинаков для обоих распределений.

"Квантовый" электронный газ в основном состоянии (Т=0)

Используем приближение свободных электронов - электроны не взаимодействуют с ионами решетки. Поэтому общая энергия электрона определяется только его кинетической энергией.

Используем приближение независимых электронов - электроны не взаимодействуют друг с другом. Поэтому можно решать одноэлектронную задачу:

вычислим уровни энергии отдельного электрона в объеме V и заполним эти уровни снизу вверх в соответствии с принципом Паули, который

запрещает двум электронам одновременно занимать один электронный уровень

Для описания отдельного электрона необходимо знать его волновую функцию (r)и направление спина (одно из двух возможных:+1/2 или -1/2)

Одноэлектронное стационарное уравнение Шредингера свободного электрона: