l23_2014_04_16
.pdfЛекция 23 (16.04.2014)
Электроны в гетероструктурах
1.Введение в оптику полупроводников. Межзонное поглощение
2.Внутризонное поглощение
3.Экситоны
Литература:
1. М. Кардона, “Основы физики полупроводников”.
2.Chuang, S.L. (2009). Physics of photonic devices. 2nd edn. John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey.
3.Г.Л. Бир, Г.Е. Пикус, Симметрия и деформационные эффекты в
полупроводниках.
4. А.И. Ансельм, “Введение в теорию полупроводников”.
Переход происходит с выполнением ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ КВАЗИИМПУЛЬСА
kC kV |
|
вектор обратной решетки |
|
|
|
kV |
|||
kC и kV |
|
kC |
|
|
лежат в первой зоне Бриллюена |
|
|
Длина волны поглощаемого света велика по сравнению с постоянной решетки:
0, |
kC kV |
Благодаря этому разность kC kV мала и при взятии интеграла по объему одной элементарной ячейки ей можно пренебречь.
Тогда Блоховские амплитуды в конечном и начальном состояниях можно считать ортогональными (дипольное приближение)[см. Бонч-Бруевич и
Калашников, стр. 644]: |
|
d |
3 |
ru*C,kC uV,kV |
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
Pvc |
|
A0 d |
3 |
|
* |
|
|
|
|
|
A0 |
|
||||
m c |
|
ruC,kC e uV,kV |
m c |
epcv , где |
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i d |
3 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
pcv |
|
|
|
|
- матричный элемент оператора импульса |
|||||||||||
|
ruC,kC |
uV,kV |
Матричный элемент перехода прямо пропорционален матричному элементу оператора импульса, вычисленному на Блоховских амплитудах состояний валентной зоны и зоны проводимости
Вероятность оптического перехода определяем используя "золотое правило" и интегрируя по волновому вектору начального (или конечного) состояния (без учета спина).
|
|
2 |
|
V eA 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
WCV |
( ) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
d3k |
epcv k |
|
|
|
C k |
V k |
|
|||||
|
|
2 |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m0c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта формула определяет для объема кристалла число переходов V C в единицу времени, для которых выполняется закон сохранения энергии и закон сохранения квазиимпульса.
Коэффициент поглощения
Затухание интенсивности света при распространении вдоль оси x:
I ~ |
|
2 |
2 |
|
x |
E |
|
~ e c |
e x, где |
2 - коэффициент поглощения
с
Вычислим коэффициент поглощения света в кристалле
I(x) I0e x |
dI(x) |
I(x) - уменьшение интенсивности света |
|
||
|
dx |
Коэффициент поглощения света, падающего нормально на поверхность,
равен отношению количества поглощенных фотонов за единицу времени в единице объема к количеству фотонов, проходящих через единицу поверхности в единицу времени (плотность потока).
Плотность потока фотонов в плоской световой волне равна Nphv Nph cn с и n - скорость света в вакууме и коэффициент преломления среды, Nph - количество фотонов в единице объема.
|
W n |
|
1 e2 |
d |
k |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
||||||||||||
( ) 2VN c |
m2cn |
|
epˆcv |
|
C (k) V (k) |
||||||||
|
CV |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ph |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
2 Nph |
|
|
|
|
|||||
при этом мы учли: |
|
|
|
и учли спин, умножив все на два |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Законы дисперсии в окрестности экстремума (в общем случае для анизотропных масс):
|
|
2 |
|
|
k |
1 |
k |
01 |
2 |
|
|
k |
2 |
k |
|
02 |
2 |
|
|
k |
3 |
k |
03 |
2 |
|||||||
C k C k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
mc1 |
|
|
|
|
mc2 |
|
|
|
|
|
|
mc3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
k |
1 |
k |
01 |
2 |
|
|
k |
2 |
k |
02 |
2 |
|
k |
3 |
k |
03 |
2 |
||||||||||
V k V k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
V3 |
|
|
|
Здесь оси 1, 2, 3 направлены вдоль главных осей эллипсоидов,mci1 и mvi1 - компоненты тензоров обратных эффективных масс электронов и дырок.
Подставляем - получаем:
|
1 e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
ki k0,i |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
epcv k |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||
|
m2cn d |
|
k |
|
|
2 |
|
i |
( Eg ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C k0 V k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Здесь Eg |
- ширина запрещенной зоны |
|
1 |
m 1 |
m 1 |
- приведенные компоненты тензора |
i |
Ci |
Vi |
обратных эффективных масс |
|
|
|
Вблизи экстремума зон не только закон дисперсии, но и матричные элементы оператора импульса можно разложить в ряд по k k0 :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
epcv |
(k) epcv |
(k0) |
|
|
epcv |
(k) |
|
|
k k0 |
... |
|||
|
|
|
|
|
k |
|
|
k k0 |
|
|
|
Разрешенные оптические переходы: epcv(k0) 0
Для таких переходов обычно пренебрегают зависимостью матричного элемента от квазиимпульса (ограничиваются первым членом разложения). Тогда вычисление коэффициента поглощения сводится просто к расчету плотности состояний уровней между которыми происходят оптические переходы.
|
1 e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
ki |
k0,i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
epcv k0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m2cn |
|
|
|
d |
|
k |
|
|
2 i |
|
|
i |
|
|
|
|
( Eg ) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ki |
k0i |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замена переменных: |
|
|
|
|
ki |
' |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk'dk' |
dk' 4 k'2 dk' |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
epcv k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k' |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 k' dk' |
|
|
|
|
( Eg ) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m2cn |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2k'2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4e2 1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
epˆcv k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2dx x ( Eg ) |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
m0cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
d |
f |
|
X |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
определение дельта-функции: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
4e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1/2 |
|
|
|
1/2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
epˆcv |
|
k0 |
|
|
|
|
|
Eg |
a Eg |
|||||||||||||
|
|
m2cn 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент поглощения равен нулю, если энергия поглощаемого фотона меньше ширины запрещенной зоны и прямо пропорционален Eg , если энергия фотона превышает Eg.
|
(E) |
|
|
m3 2 |
|
|
E1 2 |
- плотность состояний 3-мерной частицы с |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 2 3 |
|
|
квадратичной дисперсией |
|||||||
|
Выражение для имеет вид: |
|
|||||||||||||||
C Eg , где |
межзонные |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переходы при |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 2 3 |
1 2 |
|
сохранении |
||||||
|
(E) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
- комбинированная |
квазиимпульса: |
||
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плотность состояний |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
прямые переходы |
||||||
С ~ |
|
|
|
- сила осциллятора |
|
||||||||||||
epˆcv |
k0 |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
Eg |
край фундаментального поглощения
Eg |
энергия кванта |
Запрещенные оптические переходы: epcv (k0) 0
Существуют кристаллы (например, закись меди - Cu2O), для которых значение матричного элемента перехода в экстремальной точке равно нулю.
Это не значит, что при Egпоглощение отсутствует, но форма края поглощения имеет другой вид.
В этом случае разложение матричного элемента оператора импульса
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
epcv |
(k) epcv |
(k0) |
|
|
epcv |
(k) |
|
|
k k0 |
... |
|||
|
|
|
|
|
k |
|
|
k k0 |
|
|
|
начинается со второго члена
Процедура, аналогичная проделанной выше для разрешенных переходов дает (для изотропного тензора о.э.м.) (см. Ансельм, Гл. VII, п. 2):
|
2e2 |
2 5 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||
|
3m |
cn |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
2 |
3/2 |
3/2 |
|
||||||||
|
|
|||||||
|
|
epcv 0 |
|
|
|
Eg |
|
b Eg |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
Исследуя экспериментально зависимость ( ) , можно установить тип перехода - разрешенный или запрещенный и определить ширину запрещенной зоны для прямых переходов.