Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
матрицы.docx
Скачиваний:
76
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
591.2 Кб
Скачать

30

Лекция №1. Матрицы. Основные понятия. Понятие матрицы.

Матрицей размера mxn называется таблица, состоящая из mxn выражений,

где m – число строк, n-число столбцов.

Обозначение: А=или

Числа аij–элементы матрицы. Индекс i обозначает номер строки, а индекс j-столбца.

Если m=n, то матрица квадратная.

Если m=1, получаем матрицу-строку А=.

Если n=1, получаем матрицу-столбец А=.

Нулевой матрицей(нуль-матрицей) называется матрица любого размера, все элементы которой нули- Обозначение 0mxn или Θ.

Если m=n – квадратная матрица. (Пример) Mn(R) – множество квадратных матриц над R.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в ее правый нижний угол: а11, а22, …, аnn.( Элементы вида аii- диагональные элементы)

Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла матрицы в ее правый верхний угол: аn1, аn-12, …, а1n.

Матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, т.е. ,. Пример.

След матрицы trA=

Единичной матрицей n-го порядка называется диагональная матрица n-го порядка, все диагональные элементы которой равны 1. Обозначают буквой Е. Пример.

Выделяют так же верхние Δ-е и нижние Δ-е матрицы. Пример.

Алгебра матриц.

Две матрицы считаются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.nxm=Bkxl, n=k, m=l, aij=bij)

  1. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера nxm называется матрица С=А+В того же размера nxm, элементы которой равны cij=aij+bij (i=1,…,m; j=1,…,n) (1)

Из определения следует, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно

1) А+В=В+А – св-во коммутативности.

2) (А+В)+С=А+(В+С) - св-во ассоциативности.

3) А+0=А

  1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на вещественное число λ называется матрица В=λА, элементы которой

bij=λaij, i=1,…,m; j=1,…,n (2)

Пример.

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) (λμ)А=λ(μА) – сочетательное относительно числового множителя;

2) λ(А+В)=λА+λВ – распределительное относительно суммы матриц;

3) (λ+μ)А=λА+μА - распределительное относительно суммы матриц.

Разностью матриц А и В одинаковых порядков m и n называется матрица С таких же порядков, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А. С=А-В. Матрица С может быть получена по правилу С=А+(-1)В.

  1. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы в. Произведением матриц Аmxk и Bkxn называется матрица Cmxn, каждый элемент сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В: сij=ai1b1j+ ai2b2j+…+ aikbkj=, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n (3)

Пример. А=, В=, АВ=

Свойства произведения матриц.

1) (АВ)С=А(ВС) – ассоциативное свойство;

Доказательство. заметим, что если Аmxn, Bnxp, Cpxs, то элемент dij матрицы (АВ)С в силу (3) равен dij=, а элементматрицы А(ВС) равен=. Тогда равенство dij=получаем из возможности изменения порядка суммирования относительно j и k.

2) (А+В)С=АС+ВС или А(В+С)=АВ+АС – дистрибутивное относительно суммы матриц свойство.

Доказательство. Если матрицы А и В имеют размер mn, а матрица С - nk, то

====+=(АС)ij+(BC)ij=(AC+BC)ij

3) λ(АВ)=(λА)В=А(λВ) - сочетательное относительно числового множителя/

4) Существует такая матрица Е Mn(R), что А Mn(R)АЕ=ЕА=А.

В качестве матрицы Е можно взять единичную матрицу.

5) А Mn(R)А= (нулевая матрица).

Относительно свойства коммутативности произведения матриц отметим следующее:

1) Если произведение матриц АВ существует, то произведение ВА может и не существовать. Например, если А3х5, В5х4, то произведение АВ существует, а произведение ВА не существует, т.к. число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

2) Если существуют произведения АВ и ВА, то они могут быть матрицами разных размеров. Например, найдем АВ и ВА, если А=, В=,т.е.

3) Если А и В квадратные матрицы одного порядка, то произведения АВ и ВА существуют и оба являются матрицами одинакового порядка. Но при этом коммутативный (переместительный) закон умножения не выполняется, т.е. .

Например, АВ=, ВА=

4) Если D–диагональная матрица порядка n такая, что все ее диагональные элементы равны между собой D=, тогдасправедливо равенство AD=DA. (+док-во)

Д-во. Пусть сij и элементы, стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца матриц AD и DA соответственно. Тогда, сijijd, =dаij, т.е. сij=.

Кроме того, для квадратных матриц верны следующее свойство: АЕ=ЕА=А, А0=0А=0.

5.) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, те. Из того, что АВ=0 не следует, что А=0 или В=0.

Например, А=В=, АВ=

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.

4) Возведение в степень. Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е. .

Эта операция определена только для квадратных матриц. Пример.

,

Свойства степени матрицы.

  1. По определению: А0=Е, А1=А;

  2. ; 3) .

Из того, что Аm=0 не следует, что А=0.

5) Транспонирование матрицы – переход от матрицы Аmxn к матрице Т), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица АТ называется транспонированной относительно матрицы А.

Пример. А3х2=,

Свойства операции транспонирования. (Док-ть сам-но)

  1. Т)Т=А; 3) (А+В)ТТТ;

  2. (λА)Т=λАТ; 4) (АВ)ТТАТ.

Доказательство. 1)((АТ)Т)ij=(AT)ji=Aij

3) (А+В)ijТ=(A+B)ji=Aji+BjiТТ

4) (АВ)ijТ=(AB)ji====(ВТАТ)ij

Матрица А называется симметрической, если А=АТ. Пример: А=/

Если АТ=-А, то матрица А называется кососимметрической.

Элементы симметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, равны между собой.

Элементы кососимметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диагональные равны нулю.

Блочные матрицы. Предположим, что некоторая матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. Например, матрицу

А=можно рассматривать как блочную А=, где А11=, А12=, А21=, А22=

Основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

Пусть блочные матрицы А=(А) и В=(В) удовлетворяют следующим условиям: 1) Число «блочных» столбцов матрицы А совпадает с числом «блочных» строк матрицы В.

2) Для любых индексов , ,  число столбцов у матрицы А совпадает с числом строк у матрицы В.

Тогда АВ=(С), С=.

Пример. ,,.

Прямой суммой двух квадратных матриц А и В порядков m и n называется квадратная блочная матрица С порядка m+n, равная С==АВ.

Из определения следует, что прямая сумма не является коммутативной, т.е. АВВА. Но справедливо свойство ассоциативности: (АВ)С=А(ВС).

В результате выполнения операций в левой и правой частях равенства получается одна и та же блочно-диагональная матрица:

А также справедливо следующие свойства:

mAn)+(BmBn)=(Am+Bm)(An+Bn),

(AmAn)(BmBn)=AmBmAnBn

В этих формулах Аm и Bm – произвольные квадратные матрицы порядка m, а Аn и Bn – произвольные квадратные матрицы порядка n.

Эти записи означают следующее:

+=

=

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.