19.Метод половинного деления
Его ещё называют методом дихотомии. Этот метод решения уравнений отличается от выше рассмотренных методов тем, что для него не требуется выполнения условия, что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале [a, b]. Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе не дифференцируемых.
Разделим отрезок [a, b] пополам точкой. Если (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c] (Рис. 3.8), либо на отрезке [c, b] (Рис. 3.9)
Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.
Пример 4. Уравнение 5x - 6x -3 = 0 имеет единственный корень на отрезке [1;2]. Решить это уравнение методом половинного деления.
Решение: Программа на языке Паскаль может быть такой:
program mdp;
function f(x: real): real;
begin
f:=exp(x*ln(5))-6*x-3;
end;
var
a, b, e, c, x: real;
begin
a:=1;
b:=2;
write ('e=');
read(e);
c:=(a+b)/2;
while abs(b-a)>e do
begin
if f(a)*f(c)<0 then
b:=c
else
a:=c;
c:=(a+b)/2;
end;
x:=(a+b)/2;
writeln ('x=',x:3:3,' f(x)=',f(x):4:4);
end.
Результат выполнения программы:
e=0.001 x=1.562 f(x)=-0.0047