Лекции / семестр3 / Алфимов / Course_04

Лекция 4

5. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости.

5.1. Определение интеграла от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости.

Определение: Кусочно-гладкой кривой в комплексной плоскости называется множество точек z = z(t) = x(t) + iy(t), ãäå t 2 [a; b] - действительный

параметр, причем x(t), y(t) обладают следующими свойствами:

²x(t); y(t) 2 C[a; b];

²x0(t); y0(t) -кусочно- непрерывные функции на [a; b] (количество интер-

валов непрерывности конечно!);

² x02(t) + y02(t) =6 0 - нет точек возврата;

² нет точек самопересечения.

Если кривая замкнута, то x(a) = x(b), y(a) = y(b).

Замечание: Далее всюду под словом кривая подразумевается кусочногладкая кривая (!).

Пусть функция f(z) задана на кривой C. Как и в действительном анализе,

n=1

Определение: Åñëè ïðè maxn j znj ! 0 существует предел интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения кривой C, ни от выбора то-

÷åê zn¤, то этот предел называется интегралом от функции комплексной переменной f(z) = u(x; y) + iv(x; y) по кривой C:

Z

Распишем:

f(z)Δz = (u(x; y) + iv(x; y)) ¢ (Δx + i y) = (u x ¡ v y) + i(v x + u y)

1

Im z

z1

z 0

Re z

Ðèñ. 1:

Тогда

Замечание: Достаточное условие существования криволинейных интегралов второго рода является кусочная непрерывность и ограниченность функций u(x; y), v(x; y) на контуре интегрирования. Поэтому кусочной непре-

рывности и ограниченности jf(z)j на контуре интегрирования достаточно и

2

для существования интеграла по комплексной переменной. Таким образом, интеграл по комплексной переменной существует и для не аналитических функций.

5.2. Свойства интеграла от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости.

Замечание: Поскольку значение интеграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве положительного направления обхода замкнутого контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от на-

Z Z Z

f(z) dz + f(z) dz = f(z) dz

C1 C2 C1+C2

ãäå C1 + C2 - дуга, состоящая из дуг C1 è C2.

Свойство 3 (линейность):

Z Z Z

f®f(z) + ¯g(z)g dz = ® f(z) dz + ¯ g(z) dz

C C C

Свойство 5 (сведение к обыкновенному интегралу). Пусть C - гладкая кривая, задаваемая представлением ¸(t) = x(t) + iy(t), a · t · b (слово глад-

кая - значит x(t) è y(t) - дифференцируемые функции при a · t · b).

ТогдаZ Z b

f(z) dz = f (¸(t)) ¸0(t) dt

Ca

3

ãäå ¸0(t) = x0(t) + iy0(t).

Доказательство: Распишем интегралы второго рода в формуле (1) (см. курс действительного анализа):

Z Z Z

f(z) dz = (u dx ¡ v dy) + i (v dx + u dy) =

CZ b C C

=fu(x(t); y(t)) ¢ x0(t) ¡ v(x(t); y(t)) ¢ y0(t)g dt +

Za b

+i fv(x(t); y(t)) ¢ x0(t) + u(x(t); y(t)) ¢ y0(t)g dt =

Zab

=fu(x(t); y(t)) + iv(x(t); y(t)) ¢ [x0(t) + iy0(t)] dt =

Zab

=f (¸(t)) ¸0(t) dt

a

÷.ò.ä.

Пример: Посчитаем интеграл

Z

I =

dz

C½ z ¡ z0

ãäå C½ - окружность с центром в точке z0 и радиусом ½, проходимая в

направлении против часовой стрелки. Введем параметризацию контура C½,

C½ : z = z0 + ½ei'; 0 · ' < 2¼. Тогда

I = Z 2¼ i½ ei' d' = 2¼i 0 ½ei'

Заметим, что результат не зависит ни от ½, íè îò z0.

6. Теорема Коши.

6.1. Теорема Коши в односвязной и многосвязной областях.

¯

Теорема 6.1 (Формула Грина): 1 Пусть P (x; y); Q(x; y) 2 C(G), @G - кусочно- гладкий замкнутый контур и @P@x ; @P@y ; @Q@x ; @Q@y 2 C(G). Тогда

Доказательство: см. курс действительного анализа.

1Стоит заметить, что формулировка теоремы о формуле Грина во многих курсах действительного анализа несколько отличается от этой. В том числе, часто предполагается, что область охватываемая контуром можно разбить на конечное число элементарных областей , что не включает в3ñåáÿ1все типы кусочно-гладких границ (например, границу, заданную формулой l(x) = x sin x )

4

Определение: Область называется односвязной если для для любого замкнутого контура, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит этой области.

Примеры:

(A) Любой круг, очевидно, является односвязной областью.

(Б) Кольцо не является односвязной областью.

Определение: Функция называется аналитической в замкнутой области ¯

G

¯

(G - просто область), если f(z) - аналитическая в G è f(z) 2 C(G).

Теорема 6.2 (Теорема Коши для односвязной области, первая формулировка): Пусть G - односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой грани-

I

f(z) dz = 0

@G

Доказательство: Имеем:

Z Z Z

f(z) dz = u dx ¡ v dy + i u dy + v dx

@G @G @G

Òàê êàê f0(z) 2 C(G) òî @u@x ; @u@y ; @x@v ; @y@v 2 C(G) и, поэтому, по формуле Грина

I ZZ ZZ

f(z) dz = (¡vx ¡ uy) dxdy + i (ux ¡ vy) dxdy =

@G G

=[по условиям Коши-Римана] =

ZZ ZZ

Теорема доказана.

Теорема 6.3 (Теорема Коши для односвязной области, вторая формулировка): Если f(z) - аналитическая в односвязной области G, то для любого

замкнутого кусочно-гладкого контура C ½ G

I

f(z) dz = 0

C

Доказательство: Следует из Теоремы 6.2.

Замечание: Требование односвязности является существенным! Пример: Пусть G = fz : 1 < jzj < 3g (кольцо), f(z) = 1=z. Тогда

Z

dz = 2¼i =6 0

jzj=2 z

5

2

γ

2

Ðèñ. 2:

Теорема 6.4 (Теорема Коши для многосвязной области) Пусть f(z) - анали-

тическая в замкнутой области ¯

G, причем G - многосвязная область, огра-

ниченная снаружи кусочно-гладким контуром C0, а изнутри - конечным числом кусочно-гладких контуров C1, C2, : : : Cn (см. Рис.2.) Тогда

Доказательство: Проведем гладкие кривые °1; °2; : : : ; °n, соединяющие кон-

òóð C0 с контурами C1; C2; : : : ; Cn и не пересекающихся между собой (см. Рис.2) (примем на веру, что это можно сделать всегда, хотя этот факт также надо доказать!) Тогда область, ограниченная кривыми C0; C1; C2; : : : ; Cn è

кривыми °1; °2; : : : ; °n, проходимыми дважды в противоположных направлениях является односвязной. Следовательно, интеграл по границе этой области равен нулю. Но интегралы по каждой из кривых °1; °2; : : : ; °n счита- ются дважды, причем направления интегрирования противоположны друг другу. Значит вклад от интегралов по кривым °1; °2; : : : ; °n равен нулю. Направление интегрирования по внутренним контурам противоположно направлению интегрирования на контуре C0, следовательно

что и требовалось доказать.

6

6.2. Неопределенный интеграл от функции комплексной переменной.

Следующая теорема говорит о том, что помимо производной функции комплексного аргумента, можно определить также первообразную функции комплексного аргумента.

Теорема 6.5 Пусть G - односвязная область, f(z) 2 C(G) и для любого кусочно-гладкого замкнутого контура °, целиком лежащего в G

где интеграл берется по кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки z è z0, причем его значение не зависит от этой кривой;

(b) Функция F (z) аналитическая в G è F 0(z) = f(z).

Im z

z

γ

2

γ

1

z0

Re z

Ðèñ. 3:

Доказательство: (а) Покажем, что условие (2) гарантирует нам, что интегралы по всем кривым, соединяющим точки z è z0 равны. Рассмотрим

7

две разных кривых, °1 è °2, соединяющих точки z è z0 (см Рис.3). Предпо- ложим для простоты, что они не пересекаются 2. Рассмотрим замкнутый контур, образованный этими кривыми, причем проход от z0 ê z осуществ-

ляется по кривой °1, à îò z ê z0 - по кривой °2 (см. Рис.3). Тогда по условию

(2)

определена однозначно, что доказывает пункт (a).

(b) Рассмотрим интеграл по отрезку прямой, соединяющему точки z è

z + z.

В силу непрерывности f(z), для любого " > 0 найдется такое ±("), что если длина отрезка интегрирования j zj < ±(") правая часть неравенства (3)

будет меньше ". Следовательно, левая часть тоже меньше " и существует предел

Ïðè ýòîì F (z) - аналитическая, т.к. она дифференцируема и ее производная по условию непрерывна. Что и требовалось доказать.

Определение: Функция F (z), существование которой гарантируется Теоре-

мой 6.5, называется первообразной функции f(z). Первообразная определена с точностью до произвольной комплексной константы.

Замечание: В силу теоремы Коши, аналитические функции, определенные в односвязной области, имеют первообразную.

2Задача¤: Подумайте, как надо изменить доказательство, чтобы учесть, что кривые

°1 è °2 могут пересекаться (a) конечное число раз; (b) бесконечное число раз.

8