Доказательство:
Обозначим
1 |
|
X |
|
¾(x) = uk0 (x) |
(3) |
k=1
Тогда ¾(x) непрерывна на [a; b] в силу равномерной сходимости ряда. Про-
интегрируем (3) от x = c до любой другой точки x 2 [a; b] (имеем право по Теореме 14.4)
Zc |
¾(t) dt = k=1 Zc |
uk0 (t) dt = k=1 (un(x) ¡ un(c)) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P¾(x) |
X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
k1=1 unR(x) сходится к некоторой функции s(x). Äà- |
|
||||||||||||||||||
Òàê êàê |
|
1 |
|
|
сходится, а |
x |
¾(t) dt |
- конечная величина (в силу непре- |
|
||||||||||||||||
|
k=1 un(c) |
|
|
P |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ëåå |
|
|
|
|
), òî ðÿä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
рывности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Zc |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
s(x) = k=1 un(x) = |
|
¾(t) dt + k=1 un(c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Теперь, во-первых, дифференцируя обе части этого равенства получаем |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s0(x) = ¾(x) = |
|
|
uk0 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Во-вторых, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k=1 un(x) = k=1 Zc |
u0(t) dt + k=1 un(c) |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|||||||||||||||
Покажем, что ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k=1 Zc |
uk0 (t) dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1=1 u0(x) |
|
|
|
P |
8" > 0 |
|
|||||||
В силу того, что сходится равномерно ряд |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
сходится равномерно (тогда в силу (4) равномерно сходится и ряд |
|
1 |
). |
||||||||||||||||||||||
|
k=1 uk(x) |
|
|||||||||||||||||||||||
9N("), такое что при n > N(") имеет место |
P |
|
получаем : |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
¯ |
|
|
uk0 (x)¯ < b " a |
|
|
|
|
|
|
оценка |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¯ |
X |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда¯ |
ïðè |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
n > N(¯") |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¯k=n+1 |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
cx à 1 |
uk0 (t)! |
dt¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¯ |
|
1 |
|
cx uk0 (t) dt¯ |
= |
< (b ¡ a) ¢ b |
" a = " |
|
|||||||||||||||||
¯ |
X |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
X |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
k1=1 uk(x). |
|
|
|
|
||
÷òî è¯доказывает равномерную¯ ¯ |
сходимость ряда¯ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
k=n+1 Z |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P
11
Мораль: Несколько упрощая ситуацию, можно сказать, что:
²интегрировать равномерно сходящиеся ряды можно;
²если члены ряда аналитические функции, то дифференцировать равномерно сходящиеся ряды также можно;
²если члены ряда - только непрерывно дифференцируемые на
отрезке функции, а ряд равномерно сходится, то можно формально продифференцировать ряд, а потом выяснить, равномерно ли сходится ряд из производных. Если да, то дифференцирование было законным.
Примеры: 1. Ряд
X1 sin nx
n
n=1
сходится на всей оси по признаку Дирихле7. Ряд из производных
X1
cos nx
n=1
расходится, поэтому дифференцирование было незаконным.
2. Ðÿä 1 + 1 + 1 + : : : имеет формальную производную 0 + 0 + 0 + : : :.
Несмотря на то, что ряд из производных равномерно сходится (так как вообще не зависит от x!), дифференцирование было незаконным, так как
исходный ряд расходился.
7Можно доказать даже равномерную сходимость этого ряда на любом отрезке [a; b], не содержащем точек x = 2¼l, l 2 Z
12