4.2. Свойства основной задачи линейного программирования

При решении задач линейного программирования используются некоторые общие свойства, которые можно проиллюстрировать на примере задач с двумя свободными переменными.

1) Решение основной задачи линейного программирования, если только оно существует, не может лежать внутри области допустимых решений, а только на ее границах.

2) Решение основной задачи линейного программирования может быть не единственным, если прямая, определяющая целевую функцию, параллельна той стороне области допустимых решений, где функционал достигает максимума. В этом случае задача имеет бесконечное множество оптимальных решений, как показано на рис. 4.4.

Рис. 4.4

3) Основная задача линейного программирования может не иметь решений даже в случае существования области допустимых решений, если область не ограничена в направлении оптимальности (рис. 4.5).

Рис. 4.5

4) Решение основной задачи линейного программирования, максимизирующее или минимизирующее целевую функцию, всегда достигается в одной из вершин области допустимых решений. Решение, лежащее в одной из вершин области допустимых решений, называется опорным или базисным решением.

5) Чтобы найти оптимальное решение, достаточно перебрать все вершины или опорные точки области допустимых решений и выбрать из них ту, где функционал достигает экстремума.

6) Если число свободных переменных основной задачи линейного программирования при n базисных равно двум и решение основной задачи существует, то оно всегда достигается в точке, где, по крайней мере, две из переменных обращаются в нуль. Например, x₄ = 0, x₃ = 0 в точке К (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Случай, когда в оптимальном решении обращается в нуль не две, а более переменных, называется вырожденным (точка L на рис 4.6).

4.3. Исследование графического решения задач линейного программирования

Нахождение оптимального решения является лишь первым этапом решения задачи ЛП. Наибольший интерес представляет знание того, в каких пределах можно менять входные параметры без существенного отклонения от найденного оптимального решения.

Послеоптимизационный анализ решения предусматривает проведение исследования чувствительности модели задачи ЛП к изменению:

1. значений коэффициентов правых частей системы ограничений – b_i,

2. значений коэффициентов целевой функции – c_j,

3. значений коэффициентов матрицы системы – a_ij.

Использование понятия двойственности позволяет рассмотреть первые две задачи анализа. При геометрическом представлении задачи ЛП можно исследовать чувствительность решения к изменению всех видов коэффициентов.

Необходимо отметить, что при исследовании чувствительности графического решения задачи ЛП к варьированию исходных параметров фактически определяются пределы изменения коэффициентов, ив выражениях (4.1) и (4.2), а неa,b,cсоответственно. Но поскольку система (4.1) и выражение (4.2) выводятся из предыдущих формул, то соответствующие коэффициенты однозначно связаны между собой. Поэтому в дальнейшем будем говорить об измененииa,b,c.

4.3.1. Исследование чувствительности решения к изменениям коэффициентов правых частей ограничений

Основная цель анализа чувствительности в данном случае состоит в том, чтобы выявить допустимые пределы изменения правых частей ограничений b_i (i=1,m) в (3.16) при неизменности найденного оптимального решения. Т.е. для каждого из коэффициентовb_iнеобходимо определить интервал(b_iMIN , b_iMAX), для всех значений которого система (3.16) была бы совместна и ее решение не менялось. При этом полагаем, что остальные (m-1) коэффициентов сохраняют свои первоначальные значения.

Для исследования чувствительности решения задачи ЛП к изменениям коэффициентов правых частей ограничений анализируется ОДР на возможность параллельного переноса прямой, соответствующей i-му ограничению ОДР и не примыкающей к оптимальной вершине, т. е. вершине, в которой функционал достигает оптимального значения.

Считаем, что точка D соответствует оптимальному решению (рис. 4.7). Границы ОДР, примыкающие к вершине D, то есть CD и DE, не могут быть перенесены без изменения координат D, а значит, и оптимального решения.

Границу ВС можно переместить параллельно самой себе в сторону начала координат или наоборот. Параллельный перенос ВС означает изменение коэффициента b_iуравнения этой прямой. При этом оптимальное решение не изменится до того момента, пока ВС не подойдет к точке оптимальности D. Таким образом определится минимальное значение коэффициентаb_iMIN . Значение коэффициента b_iMAX можно найти, перемещая ВС от начала координат до тех пор, пока точки С и В максимально не приблизятся друг к другу. В этом предельном случае прямая ВС, соответствующаяi-му ограничению, фактически «выйдет» за пределы ОДР, образованной оставшимися (m–1) ограничениями.

Аналогично находятся пределы изменения коэффициента b_i+1уравнения, определяющего прямуюAF. Значение коэффициента возрастает при параллельном переносеAFот начала координат, пока данная прямая вплотную не подойдет к точке В, поскольку при исследовании на чувствительность число вершин ОДР не должно уменьшаться. Нижний предел изменения коэффициентаb_i+1можно определить, перемещаяAFк началу координат до совмещения точек А иF.

Так, предельно возможный перенос границы ОДР без нарушения оптимальности определяет пределы варьирования соответствующего коэффициента b_i. При желании можно исследовать чувствительность решения к изменению сразу нескольких значений констант в правых частях ограничений исходной задачи. Для этого необходимо одновременно осуществить параллельный перенос двух или более границ ОДР (не примыкающих к оптимальной вершине). Причем интервалы изменения одного и того же коэффициента bмогут быть различными, в зависимости от набора перемещаемых прямых и порядка, в котором производится перенос.

Пример.

Рассмотрим графическое решение конкретной задачи и исследуем его на чувствительность к изменениям коэффициентов правых частей ограничений.

Исходные данные:

x₁ , x₂  0,

F_MAX = 3x₁+2x₂ .

Область допустимых решений данной задачи OKLMNPпредставлена на рис. 4.8. Как видно из рисунка функционал достигает своего максимума в вершине М:

F_MAX (x₁ , x₂ )= F_MAX (8.0; 2.7)=29.33.

Для исследования на чувствительность выбираем одну из границ ОДР, исключая LMиMN, примыкающие к оптимальной вершине. Выбранная прямаяKL, соответствующая 1-му ограничению системы, на рисунке помечена стрелками. Начальное значение коэффициента:b₁= 20.

Для нахождения верхнего предела изменения коэффициента необходимо осуществить параллельный перенос прямой KLвверх от начала координат. В итоге точки К иLпрактически совместятся, и ОДР изменится:OK’L’MNP. Максимальное значение составитb_1MAX= 31.50.

Минимальное значение коэффициента можно найти при перемещении прямой KLпараллельно самой себе до совмещения точек О и К. При этом ОДР будет представлять собой многоугольникOK”L”MNP, а значение коэффициента станет равнымb_1MIN= 0.50.

В обоих случаях точка М осталась оптимальной вершиной, и ее координаты не изменились, а значит, не изменилось оптимальное решение.

Аналогично проводится исследование на чувствительность к изменению коэффициента bограничения, соответствующего прямойNP. Границы ОДР, совпадающие с осями координат (в данном примереOPиOK), не участвуют в исследовании на чувствительность, поскольку они определяются не ограничениями системы, а условием неотрицательности значений переменных.