18

1. Решение задач линейного программирования графическим методом

Задача линейного программирования (ЛП) в общем виде формулируется следующим образом.

Для переменных x₁ ,…, x_j ,…, x_n найти такие неотрицательные значения x_j  0 , , которые обращали бы в максимум целевую функцию

, (1)

и удовлетворяли системе ограничений

. (2)

Для удобства геометрического представления основной задачи линейного программирования рассматривается случай, когда число переменных n на 2 больше числа уравнений m, т. е. n–m=2. Это означает, что две переменные можно взять в качестве свободных, например x₁ , x₂, а остальные сделать базисными и выразить их через свободные. Получится система ограничений вида

(3)

где _ij – пересчитанные коэффициенты матрицы системы,

_i – правые части ограничений.

Свободные переменные можно взять в качестве осей координат; x₁ , x₂  0, следовательно, графическое решение будет находиться в первом квадранте координатной плоскости (x₁ , x₂). Остальные базисные переменные также должны удовлетворять требованию неотрицательности x₃  0, x₄  0, …, x_n  0. Это означает, что если взять предельное значение равенства нулю, например x₃ = 0, то из системы (3) следует, что это будет в выбранной системе координат уравнение прямой ₃₁ x₁ + ₃₂ x₂ + ₃ = 0.

При этом по одну сторону от прямой будет полуплоскость,в которой x₃ < 0, а по другую - x₃ >0, что соответствует требованию неотрицательности. Интересующую полуплоскость переменной x₃ = 0 удобно отметить штриховкой, как это показано на рис.1. Аналогично можно построить и остальные прямые: x₄ = 0, …, x_n = 0 с выделением штриховкой допустимой стороны.

Врезультате часть плоскости, принадлежащая всем полуплоскостям, образует область допустимых решений (ОДР), представляющую собой выпуклый многоугольник. Если хотя бы одна из полуплоскостей не перекрывает область допустимых решений, как, например,x_j на рис.1, то задача не имеет решения.

Теперь необходимо рассмотреть графическое нахождение из числа допустимых решений оптимального решения, обращающего в максимум или в минимум (в зависимости от условий задачи) целевую функцию (2), приводимую здесь в развернутом виде:

F_max = c₁ x₁ +…+ c_j x_j +…+ c_n x_n .

Подставив в указанную формулу значения базисных переменных, выраженных через свободные (3), получим линейную функцию, зависящую только от свободных переменных с возможным свободным членом ₀ :

F = ₁ x₁ + ₂ x₂ + ₀ . (4)

Данное уравнение можно построить в тех же координатах, что и область допустимых решений. Очевидно, наклон полученной прямой будет определяться величинами и знаками коэффициентов ₁ и ₂ . От величины ₀ будет зависеть смещение этой прямой относительно начала координат. Для предварительного построения прямой, соответствующей целевой функции (4), можно выбрать произвольное значение ₀ , которое в процессе графического решения задачи все равно будет изменяться. Остается определить направление сдвига рассматриваемой прямой для оптимизации функционала.

Если коэффициенты положительны, т. е. ₁ >0 , ₂ >0, то из (4) следует, что, например, для максимизации надо перемещать прямую целевой функции в сторону увеличения x₁ , x₂ (вправо и вверх) до тех пор, пока она не достигнет крайних значений границы области допустимых решений, как показано на рис. 2. Значения координат этой точки и будут оптимальными значениями x₁⁰ , x₂⁰.

Для вычисления значений остальных переменных оптимальные значенияx₁⁰ , x₂⁰ подставляются в систему (3).

Также вычисляется оптимальное значение целевой функции

.

В случае других знаков коэффициентов направления перемещения максимизируемой целевой функции приведены на рис. 3.

Графический метод решения применим для случая двух свободных переменных, уже при трех свободных переменных его использование затруднено.