7.2. Определение допустимого базисного решения транспортной задачи

При решении транспортных задач используют не симплексную таблицу, а матрицу перевозок, в которой совмещены матрица решений и матрица стоимости перевозок:

.

Таким образом, каждой клетке такой матрицы соответствуют два числа x_ij, c_ij, как показано в таблице 7.1.

Таблица 7.1

Ai/Bj	B1 …	Bj	… Bn
A1	c11 x11	…	c1n x1n	a1
Ai	…	cij xij	…	ai
Am	cm1 xm1	…	cmn xmn	am
	b1	bj	bn

A₁, …,A_i, …,A_m – обозначения пунктов отправления, B₁,…,B_j,…,B_n – обозначения пунктов назначения.

В матрице перевозок приведены также запасы пунктов отправления и потребности (заявки) пунктов назначения.

В матрице перевозок существуют базисные (занятые) и свободные (незанятые) клетки. Базисные клетки соответствуют базисным переменным, и в них записываются значения базисных неизвестных из допустимого базисного решения (в том числе и нулевые). Свободные клетки, соответствующие свободным переменным, не заполняются, нули в них не записываются. Число базисных переменных в матрице перевозок: r=m+n-1.

Существует несколько методов нахождения допустимого базисного решения.

Первым рассматривается диагональный метод (метод северо-западного угла) на конкретном примере с цифровыми данными, приведенными в таблице 7.2.

Таблица 7.2

	В1	В2	В3	В4
А1	2 х11=20	3	2	4	30
А2	3	2	5	1	40
А3	4	3	2	6	20
	20	30	30	10	=90

При этом методе, начиная с угловых объектов, попытаемся удовлетворить потребность пункта В₁ запасами пункта А₁. Это можно сделать, т.к. a₁>b₁. Удовлетворим его, осуществив перевозки х₁₁=20. Пункт В₁ оказывается удовлетворенным полностью, поэтому этот столбец можно временно исключить, в результате получаем таблицу 7.3.

Таблица 7.3

	В2	В3	В4	ai
A1	x12=10			a1 30-20=10
A2				40
A3				20
bj	b2=30	30	10	70

Запасы пункта А₁ при этом уменьшаются и становятся равными a₁^=30-20=10. Далее попытаемся удовлетворить потребность пункта В₂ (играющего теперь роль первого) запасами пункта А₁. Т.к. b₂ > a₁^, то потребности можно удовлетворить лишь частично x₁₂=10 единицами груза из А₁. При этом потребности b₂ сократятся и станут равными b₂^=b₂ – a₁^=30 –10= 20, при этом запасы пункта А₁ окажутся исчерпанными, и его строку можно исключить, что приводится в таблице 7.4.

Таблица 7.4

	В2	В3	В4	ai
A2	x22=10			40
A3				20
bj	b2’=20	30	10	60

Для этой таблицы выбирается х₂₂=20, при этом сокращаются запасы А₂. Они становятся равными a₂^ = a₂ – b₂^ = 20 единицам груза. Столбец В₂ исключается, получается новая таблица.

Таблица 7.5

	В3	В4	ai
A2	x23=20		а2’=20
A3	x33=10	x34=10	20
bj	30	10	40

В таблице 7.5 перевозится в текущем северо-западном углу x₂₃=20, т. к. запасы А₂ составляют только а₂^’=20. Исключается строка А₂, а оставшиеся потребности b₃^’=b₃ – a₂ ^’= 10 удовлетворяются перевозками x₃₃=10 и x₃₄=10. Следует заметить, что при каждом шаге удовлетворяется и вычеркивается только один пункт – либо отправления, либо назначения. И только на последнем шаге удовлетворяются одновременно два пункта.

Таким образом, получим для решения задач возможные допустимые значения базисных переменных х₁₁=20, х₁₂=10, х₂₂=20, х₃₃=10, х₂₃=20, х₃₄=10. Общая стоимость перевозок F=290. Это и есть допустимое базисное решение, приведенное в таблице 7.6.

Таблица 7.6

	В1	В2	В3	В4
А1	2 х11=20	3 х12=10	2	4	30
А2	3	2 х22=20	5 х23=20	1	40
А3	4	3	2 х33=10	6 х34=10	20
	20	30	30	10	=90

Число базисных переменных равно r=m+n-1=6, т.е. соответствует требуемому числу базисных переменных.

Второй метод нахождения исходных базисных решений транспортной задачи - это метод наименьшей стоимости.

В этом методе выбор пунктов перевозки осуществляется с учетом стоимости, и на каждом шаге пытаются добиться меньшей стоимости перевозок.

	В1	В2	В3	В4	ai
A1	2 20	3	2 10	4	30
A2	3	2 30	5	1 x24=10	40
A3	4	3 0	2 20	6	20
bj	20	30	30	10	=90

Из таблицы следует, что минимальная стоимость перевозок будет между пунктами А₂ и В₄, поэтому полагаем х₂₄=10. Удовлетворяем пункт В₄ и мысленно исключаем этот столбец. Запасы а₂ уменьшились и стали a₂^ = a₂ – b₄^ = 30. Следующая по цене стоимость «2» перевозок в нескольких клетках. Выбираем пункты А₁ и В₁, полагаем х₁₁=20, тогда a₁^ = a₁ – b₁ = 10. Удовлетворяем В₁ и исключаем его (мысленно) из рассмотрения. Затем выбираем клетку 2-2, полагаем х₂₂=30 и исключаем строку А₂, т.к. запасы исчерпаны (но В₂ не исключаем, т.к. два исключения одновременно запрещаются), поэтому удовлетворим В₂, но его «нулевая» потребность осталась.

Следующей клеткой (по-прежнему с ценой «2») выбираем 1-3, т.к. b₃>a₁, то возьмем x₁₃ = a₁^’ = 10, исключаем строку А₁. Потребность пункта В₃ уменьшилась до b₃^’ = b₃ – a₁^’=20. Теперь в матрице перевозок осталось два пункта В₂ с нулевой потребностью b₂ =0 и В₃ с потребностью b₃^’ = 20. Удовлетворяем потребности В₂ и В₃, полагая х₃₂=х₃₃=20. F =170. Таким образом, получили допустимое базисное решение методом наименьшей стоимости.