6.2. Решение двойственной задачи

Решение двойственной задачи можно найти из конечной (оптимальной) симплекс-таблицы прямой задачи линейного программирования.

Если исходную прямую задачу линейного программирования представить в виде F=CX, AXB, где [A]=[a_ij] – матрица коэффициентов системы, тогда в исходной симплекс-таблице она имеет вид

, (6.11)

и строка целевой функции будет

. (6.12)

Для двойственной задачи Ф_min=B^TY, A^TYC^T, Y0

(6.13)

(6.14)

Дополнительные переменные y_i для ограничений прямой задачи формально играют роль переменных с обратным знаком двойственной задачи y_i^*.

Дополнительные переменные двойственной задачи могут рассматриваться как переменные с обратным знаком прямой задачиx_j.

Решение прямой задачи для любой S-итерации может быть записано с помощью матрицы перехода [P_s] в виде

Матрица перехода для исходной симплекс-таблицы [P₀] (т.е. нулевой итерации) является единичной диагональной матрицей размерностью

(M-1)(M-1) для прямой задачи и (N-1)(N-1) для двойственной задачи:

Столбцы матрицы соответствуют дополнительным элементам прямой задачи илидля двойственной задачи и располагаются в прямом порядкеy₁,y₂,…,y_i,…,y_M-1 или .

Если дополнительные переменные y_i или прямой и двойственной задач на даннойS-итерации являются базисными, то соответствующие им столбцы матрицы P_S состоят из нулей во всех строчках за исключением одной, в которой присутствует единица. Номера этих строк совпадают с номерами строк, в которых находится эта переменная в столбце базисных переменных. Столбцы матрицы перехода P_S для дополнительных переменных y_i (), которые для рассматриваемой итерации оказались в числе свободных, соответствуют коэффициентам симплекс-таблицы на этой итерации.

Так, матрица перехода для S-итерации будет

_.

Обозначим [P] – матрицу перехода конечной симплекс-таблицы, тогда можно записать в матричном виде решение прямой задачи следующим образом:

_.

Аналогично последняя симплекс-таблица двойственной задачи может быть представлена в виде

_.

Из (6.11) и (6.13) следует, что матрица системы двойственной задачи эквивалентна транспонированной матрице прямой задачи, взятой с обратным знаком, что справедливо и для матрицы конечной симплекс-таблицы.

Это можно проиллюстрировать на конкретном примере. Допустим, организуется производство трех видов изделий A, B, C в количестве x₁, x₂, x₃ соответственно из имеющихся запасов сырья b₁, b₂, b₃. При этом на производство единицы j-го изделия затрачивается a_ij единиц i-го вида сырья. Требуется максимизировать доход, если цены на единицу каждого изделия составляют соответственно с₁, с₂, с₃.

Таким образом, для определения оптимального плана производства нужно решить задачу, состоящую в максимизации целевой функции:

,

при следующих ограничениях:

y1 y2 y3

4x1+2x2+x3180, b1=180, 3x1+x2+3x3210, b2=210, x1+2x2+5x3244, b3=244, x1, x2, x3  0.

(6.15)

Конечная симплекс-таблица имеет вид

	-x1	-y1	-y3	bi
x2	19/8	5/8	-1/8	82
y2	23/8	1/8	-5/8	80
x3	-3/4	-1/4	-1/4	16
F	57/4	23/4	5/4	1340

При этом матрица перехода конечной симплекс-таблицы прямой задачи будет

.

Как видно из симплекс-таблицы, решение прямой задачи равно x₁=0,x₂=82,x₃=16, ,F_max=1340.

Кроме того, полезно запомнить значения вспомогательных переменных y₁=y₂=0,y₂=80.

Двойственная задача запишется следующим образом: найти минимум функции

при ограничениях:

с1= 10, с2= 14, с3= 12.

(6.16)

Конечную симплекс-таблицу двойственной задачи исходя из конечной симплекс-таблицы прямой задачи можно записать в виде

				cj
	-19/8	-23/8	3/4	57/4
	-5/8	-1/8	1/4	23/4
	1/8	5/8	-1/4	5/4
Ф	82	80	16	-1340

А матрица перехода для двойственной задачи будет

Решение двойственной задачи составляет: ,

Ф= –1340.

При этом полезно знать значения вспомогательных переменных для последующего исследования решения задачи.