4. Графическое решение задач линейного программирования

4.1. Решение задач линейного программирования графическим методом

Для удобства геометрического представления основной задачи линейного программирования (3.14) – (3.16) рассматривается случай, когда число переменных nна 2 больше числа уравненийm, т. е.n–m=2. Это означает, что две переменные можно взять в качестве свободных, напримерx₁ , x₂, а остальные сделать базисными и выразить их через свободные. Получится система ограничений вида

(4.1)

где _ij– пересчитанные коэффициенты матрицы системы,

_i– правые части ограничений.

Свободные переменные можно взять в качестве осей координат; x₁, x₂  0, следовательно, графическое решение будет находиться в первом квадранте координатной плоскости (x₁ , x₂). Остальные базисные переменные также должны удовлетворять требованию неотрицательностиx₃  0, x₄  0, …, x_n  0. Это означает, что если взять предельное значение равенства нулю, напримерx₃ = 0, то из системы (4.1) следует, что это будет в выбранной системе координат уравнение прямой:₃₁ x₁ + ₃₂ x₂ + ₃ = 0.

При этом по одну сторону от прямой будет полуплоскость, в которой x₃ <0, а по другую –x₃ >0,что соответствует требованию неотрицательности. Интересующую полуплоскость переменнойx₃ = 0удобно отметить штриховкой, как это показано на рис. 4.1. Аналогично можно построить и остальные прямыеx₄ = 0, …, x_n = 0 с выделением штриховкой допустимой стороны.

В результате часть плоскости, принадлежащая всем полуплоскостям, образует область допустимых решений (ОДР), представляющую собой выпуклый многоугольник. Если хотя бы одна из полуплоскостей не перекрывает область допустимых решений, как, например, x_jна рис. 4.1, то задача не имеет решения.

Теперь необходимо рассмотреть графическое нахождение из числа допустимых решений оптимального решения, обращающего в максимум или в минимум (в зависимости от условий задачи) целевую функцию

F_max = c₁ x₁ +…+ c_j x_j +…+ c_n x_n.

Подставив в указанную формулу значения базисных переменных, выраженных через свободные (4.1), получим линейную функцию, зависящую только от свободных переменных с возможным свободным членом ₀:

F = ₁ x₁ + ₂ x₂ + ₀ . (4.2)

Данное уравнение можно построить в тех же координатах, что и область допустимых решений. Очевидно, наклон полученной прямой будет определяться величинами и знаками коэффициентов ₁ и ₂ . От величины₀ будет зависеть смещение этой прямой относительно начала координат. Для предварительного построения прямой, соответствующей целевой функции (4.2), можно выбрать произвольное значение₀ , которое в процессе графического решения задачи все равно будет изменяться. Остается определить направление сдвига рассматриваемой прямой для оптимизации функционала.

Если коэффициенты положительны, т. е. ₁ >0 , ₂ >0, то из (4.2) следует, что, например, для максимизации следует перемещать прямую целевой функции в сторону увеличения x₁ , x₂(вправо и вверх) до тех пор, пока она не достигнет крайних значений границы области допустимых решений, как показано на рис. 4.2. Значения координат этой точки и будут оптимальными значениями x₁⁰ , x₂⁰.

Для вычисления значений остальных переменных оптимальные значенияx₁⁰ , x ₂⁰подставляются в систему (4.1):

.

Так же вычисляется оптимальное значение целевой функции

.

В случае других знаков коэффициентов направления перемещения максимизируемой целевой функции приведены на рис. 4.3.

Графический метод решения применим для случая двух свободных переменных, уже при трех свободных переменных его использование затруднено.