56

3.2. Модели задач линейного программирования

3.2.1. Составление моделей

Среди операционных задач важное место занимают такие задачи, которые имеют две характерные особенности:

• линейную зависимость между показателем эффективности и элементами решения;

• ограничения на элементы решения, имеющие вид линейных равенств или неравенств.

Как раньше отмечалось, такие задачи называют задачами линейного программирования.

Задачи линейного программирования находят широкое распространение в различных областях:

энергетике – рациональная организация электрификации районов с помощью различных видов электростанций;

химии – составление сложных смесей с заданным составом компонентов;

сельском хозяйстве – рациональное распределение посевных площадей под различные культуры;

нефтяной индустрии – оптимальное размещение нефтяных скважин для увеличения добычи;

металлургии – расчет шихты для получения специальных легированных сталей;

пищевой промышленности – составление рациона питания для различных климатических зон и т. д.

Кроме этого, задачи линейного программирования находят применение в построении технических систем:

• оптимальное построение сетей передачи информации;

• оптимальное распределение контрольно-измерительных средств для управления сложными технологическими процессами;

• оптимальное управление множеством подвижных объектов;

• распознавание образов и отнесение объектов или измерительной информации к определенным классам и т. д.

Каждая из операционных задач требует индивидуальной математической модели, хотя многие из них достаточно хорошо разработаны и применимы к целым классам родственных проблем. Процесс создания математической модели, помимо предварительного исследования размерности задачи, требует ответа на три основных вопроса:

• чем можно управлять для поиска оптимального решения;

• как выразить математически цель управления;

• что мешает достичь наибольшей эффективности управления.

Ответ на первый вопрос заключается в определении управляемых переменных, которые могут изменяться для поиска оптимального решения. От правильности выбора управляемых переменных в значительной степени зависит корректность разрабатываемой модели. Неправильное решение этого вопроса может погубить весь проект.

Второй вопрос предполагает математическую запись целевой функции, где бы фигурировали управляемые переменные с коэффициентами, отражающими оценку преимущества одних и нежелательность других вариантов для достижения наибольшей эффективности.

Третий вопрос предусматривает учет технологических или технических ограничений, присутствующих в рассматриваемой операции. При этом управляемые переменные должны быть включены в математические соотношения, задающие нормы или пропорции, связанные с организацией операции, и общие ограничения на ресурсы или оборудование, используемые для оптимизируемого производства.

3.2.2. Задача о составе смеси

В металлургической, химической, нефтеперерабатывающей, сельскохозяйственной и других отраслях составляются различные смеси, которые должны удовлетворять определенным требованиям.

Имеется n продуктов, обозначаемых P₁, …, P_j, …, P_n, стоимостью соответственно c₁, …, c_j, …, c_n , и каждый из продуктов содержит m одинаковых компонентов, но в разных пропорциях, как приведено в таблице.

1 … i … m
b1 … bi … bm

Из этих продуктов необходимо составить смесь, чтобы она содержала 1-й компоненты не менее b₁ ,…, m-й компоненты не менее b_m . Это будут условия, предъявляемые к смеси, и, следовательно, ограничения в модели. Требуется так составить смесь, чтобы при соблюдении условий она имела минимальную стоимость, что для модели будет целью.

Во-первых, выбираются управляемые переменные. Обозначим количество продуктов P₁, …, P_j, …, P_n , входящих в состав смеси, соответственно x₁, …, x_j, …, x_n, что и будет управляемыми переменными. Тогда общая стоимость смеси будет определяться соотношением, которое и необходимо минимизировать для выполнения цели:

. (3.1)

Условия составления смеси в математической форме запишутся по каждой из компонент в виде

(3.2)

Это и есть ограничения, накладываемые на решение.

Поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: выбрать такие неотрицательные значения переменных x₁, …, x_j, …, x_n , удовлетворяющие

, (3.3)

при которых линейная функция этих переменных обращается в минимум

. (3.4)

Переменные модели по смыслу задачи не могут принимать отрицательные значения, поэтому дополнительно накладывается условие неотрицательности решения

.