6.3. Экономическая интерпретация двойственности

Экономический смысл решения двойственной задачи целесообразно рассмотреть на конкретном примере (6.15) и (6.16).

Значения переменных двойственной задачи (6.16) можно рассматривать как ценность (оценку) единичного ресурсаi–го вида в прямой задаче (6.15).

Полученные значения переменных в двойственной задаче показывают, на сколько изменится целевая функция прямой задачи при изменении на единицу соответственно первого и третьего видов сырья. При этом значения соответствующих базисных переменных будут изменяться: дляy₁ x₂на 5/8, y₂ на 1/8,х₃на 1/4; дляy₃х₂на 1/8,y₂на 5/8,х₃на 1/4. Значение=0 означает, что изменение данного вида ресурса не приводит к изменению целевой функции и этот ресурс использован не полностью для получения оптимального решения, т.е. имеется скрытый запас ресурса. Величина этого запаса определяется значением дополнительной переменнойy₂=80 в оптимальном решении прямой задачи.

Таким образом, положительную, отличную от нуля двойственную оценку имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются при оптимальном плане производства. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность используемых ресурсов.

Левые части ограничений двойственной задачи определяют оценку сырья или ресурса, затраченного на производство единицы каждого вида продукции. Эта оценка должна быть не меньше цены единицы продукции соответствующего вида.

Если подставить оптимальные значения двойственной задачи в ограничения двойственной задачи, то получится: 423/4+0+5/4>10,

223/4+0+25/4=14,

23/4+0+55/4=12.

Первое ограничение выполняется как строгое неравенство. Это означает, что цена продукта А оказалась ниже, чем двойственная оценка сырья, затраченного на ее производство, т.е. эта продукция нерентабельна для данного производства, и, как следует из решения прямой задачи, выпуск продукции А не предусматривается оптимальным планом производства (х₁=0).

Величина превышения затрат над стоимостью определяется значением в оптимальном решении двойственной задачи. Второе и третье ограничения выполняются как строгие равенства. Это означает, что двойственная оценка сырья, используемого на производство единиц продукции В и С, соответствует в точности их ценам. Отсюда следует, что выпуск этих видов продукции экономически целесообразен и их производство предусматривается оптимальным планом прямой задачи (х₂=82,х₃=16).

Целевая функция двойственной задачи показывает общую оценку (стоимость) сырья, используемого на производство продукции, и она должна быть минимальной.

6.4. Анализ чувствительности решения к изменению правых частей ограничений

Рассматривается анализ чувствительности решения к изменению коэффициентов c_jиb_i(3.15), (3.16). Для исследования задач линейного программирования на чувствительность решения к изменению исходных параметров задачи используется понятие вектора устойчивости решения.

Решение задачи можно записать через матрицу перехода конечной симплекс-таблицы

, (6.17)

где [X_B] – матрица-столбец базисных переменных конечной симплекс-таблицы;

[P] – матрица перехода конечной симплекс-таблицы прямой задачи;

[b₁,…,b_i,…,b_m-1]^T– матрица-столбец свободных членов исходной симплекс-таблицы;

[B] – матрица-столбец свободных членов конечной симплекс-таблицы.

Если для исследования на чувствительность коэффициентов b_iдать каждому из них в исходной симплекс-таблице некоторое приращениеb_i, то результат решения получит некоторое приращение:

. (6.18)

[B] является вектором устойчивости опорного или оптимального решения к изменению коэффициентовb_i.

Тогда [B] можно определить как

. (6.19)

Исходя из условия неотрицательности значений переменных [X_B] и, следовательно, неотрицательности [X_B]= [B]0 можно найти пределы изменения каждого коэффициентаb_i.

Анализ чувствительности полученного решения прямой задачи к изменению правых частей ограничений, т.е. b_i, предполагает, что вычисляются пределы изменения каждого из коэффициентов, при которых оптимальное решение прямой задачи существует (или оптимальные значения переменных двойственной задачи).

Вектор устойчивости решения прямой задачи к коэффициентам b_i запишется:

Условия неотрицательности компонент вектора [B] приводят к системе неравенств:

или после приведения подобных членов:

. (6.20)

Анализ изменений всех коэффициентов одновременно затруднителен и требует решения сложных систем неравенств.

На практике предполагается изменение только одного коэффициента, например b₁, и тогдаb₁0, а остальныеb_i=0,, при таких условиях решается рассмотренная выше система неравенств для определения допустимых пределов измененияb₁. Аналогично исследуются пределы изменения остальных коэффициентовb_i. Для определения пределов изменения целевой функцииFпрямой задачи, при соответствующих приращенияхb_i, используется полученное значение переменных двойственной задачи. Ранее установили, что каждомуi-му ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи. Если двойственная переменнаяв последней симплекс-таблице двойственной задачи находится в числесвободныхи, следовательно,, то приращение целевой функции определяется как.

Если находится в числебазисныхпеременных последней симплекс-таблицы и вычислены допустимые пределы изменения коэффициентаb_i, т.е.

b_iminb_ib_imax,

то пределы изменения целевой функции будут .