Практикум 3
.pdf1
Дистанционный курс « Теория вероятностей»
Практикум №3 « Теоремы сложения и умножения вероятностей.Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли».
Задача 1. В урне 40 шаров: 15 красных, 13 синих и 12 белых. Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что будет извлечен цветной шар.
Решение. Пусть событие A={извлечен красный шар}, B={извлечен синий шар}, C={ извлечен цветной шар}. Так как извлечение цветного шара означает появление либо красного, либо си-
|
= |
+ |
|
несовместны, поэтому |
||
него, то |
, события A и).BВероятность каждого слагае- |
|||||
мого( ) = ( + ) = ( ) + ( |
||||||
вычисляем, используя классическое определение вероят- |
||||||
ности. Тогда |
|
|
|
|
||
( ) = |
|
+ |
|
= |
|
= 0,7. |
|
|
|
||||
Задача 2. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет в переплете.
Решение. Пусть событие A={один учебник в переплете}, B={два учебника в переплете}, C={три учебника в переплете}, D={хотя бы один из трех взятых учебников в переплете}. Тогда D=A+B+C, а так как эти события несовместны, то P(D)=P(A+B+ +C)=P(A)+P(B)+P(C). Вероятности всех слагаемых вычисляем, используя классическое определение вероятности. Число исходов, соответствующих данному испытанию ( извлечение трех
учебников), равно |
, а число исходов, благоприятствующих |
||
событиям A,B,C, соответственно равны |
, |
, , тогда |
|
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»
|
( ) = |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
2 |
= |
|
+ |
+ |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5!10! |
|
|
5!10! |
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
1!4!2!8! |
+ |
2!3!1!9! |
+ |
3!2! |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
15! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3!12! |
3!∙4∙5∙9!∙10 |
|
|
3!∙4∙5 |
|
|
||||||||||
|
4!5∙8!∙9∙10 |
+ |
+ |
|
|
|||||||||||||
= |
4!∙2∙8! |
|
|
2 ∙3!∙9! |
|
3!∙2 |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
12!∙13∙14∙15 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2∙3∙12! |
45+20+2 |
|
|
|||||||||
|
5∙9∙5+2∙5∙10+2∙5 |
|
|
|||||||||||||||
= |
13 ∙7∙5 |
|
|
|
= |
|
|
|
91 |
≈ 0,74. |
||||||||
Задача 3. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,85, а для второго – 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен.
Решение. Пусть событие A={первый спортсмен попал}, B={второй спортсмен попал}, C={хотя бы один спортсмен попал}. Тогда C=A+B, причем события A и B совместны, поэтому
( ) = ( + ) = ( ) + ( )− ( ) = = 0,85+0,8− 0,85∙0,8 = 1,65 −0,68 = 0,97.
Задача 4. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,85;0,8;0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень.
Решение. 1-ый способ: пусть событие A={первый стрелок попал}, B={второй стрелок попал}, C={третий стрелок попал}, D={хотя бы один стрелок попал}. Тогда D=A+B+C, причем эти
события совместны, поэтому ( ) = ( + + ) = |
) = |
|
= ( )+ ( ) + ( )− ( ) − ( )− ( ) + ( |
||
= 0,85+0,8+0,7− 0,85∙0,8− 0,85∙0,7− 0,8∙0,7+ |
|
. |
+0,85∙0,8∙0,7 = 2,35 −0,68 −0,595 −0,56+0,476 = 0,991 |
|
|
2-ой способ: событие D является противоположным событию
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»
|
3 |
|
( ) = 1− ( |
) = |
|
={ни одного попадания}, поэтому |
|||||
̅ |
̅ |
( ) |
. |
( ) 1− |
( ) = |
= 1 − ( ) ( ) ( ) = 1− 1− |
1− |
||||
= 1 −0,15∙0,2∙0,3 = 1− 0,009 = 0,991
Задача 5. Симметричная монета подброшена три раза. Найти вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза.
Решение. Пусть Ai={цифра выпадет при i-ом бросании}, i=1,2,3;
A={цифра выпадет ровно два раза}, тогда |
|
|
равенства |
|||||
|
|
. Слагаемые в правой части=этого |
||||||
|
|
+ |
||||||
попарно+несовместны, поэтому: |
|
, , |
|
. Принимая во |
||||
внимание независимость событий |
, , , |
= |
||||||
|
) |
|
, находим |
|||||
( ) = |
( |
)+ |
( |
)+ ( |
|
|||
( ) = ( ) ( ) ( |
)+ ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) |
|||||||||||||||||||
= |
|
∙ |
|
∙ |
|
+ |
|
∙ |
|
∙ |
|
+ |
|
∙ |
|
∙ |
|
= |
|
= 0,375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 6. Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность того, что при случайном наборе номер будет оканчиваться на 240.
Решение. Пусть событие A={четвертая цифра – 2}, B={пятая цифра – 4}, C={шестая цифра – 0}, D={номер будет оканчиваться на 240}, тогда D=ABC. Так как события A,B,C независимы,
то ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = ∙ ∙ = 0,001.
Задача 7. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наугад. Найти вероятность того, что ему придется звонить не более чем в четыре места.
Решение. Пусть события Ai={абонент правильно наберет цифру i-ый раз}, i=1,2,3,4. E={абоненту придется позвонить не более чем в четыре места}. Тогда = + ∙ + ∙ ∙ + ∙
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»
местные∙ ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
слагаемые в правой части этого равенства - несов- |
|||||||||||||||||||||||||||
события, |
, поэтому |
|
|
|
|
)+ ( |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( ) = ( ) + ( |
)+ ( |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
= 1,2,3,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, так как |
||||||||
события |
|
|
являются зависимыми, то |
|
||||||||||||||||||||||||||
( ) = ( ) + ( ) ( ⁄ )+ |
1 |
|
|
9 1 9 8 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
+ ( ) ( ⁄ ) ( ⁄ |
)+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
( ) ( ) ( ) ( ∕ |
1 |
|
) = |
10 |
+ |
10 |
∙ |
9 |
+ |
10 |
∙ |
9 |
∙ |
8 |
+ |
||||||||||||||
9 |
8 |
7 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
10 |
∙ |
9 |
∙ |
8 |
∙ |
7 |
= |
10 |
+ |
10 |
+ |
10 |
+ |
10 |
= 0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 8. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает три предложенных ему экзаменатором вопроса.
Решение. Пусть события Ai={студент знает i-й вопрос}, i=1,2,3; B={студент знает три предложенных вопроса}. Тогда
= |
, так как эти события зависимые, то |
( |
) = |
|
||||
= ( . |
) = |
( ) ( ⁄ ) ( ⁄ ) = |
20 |
|
19 |
|
18 |
≈ |
≈ 0,49 |
|
|
25 |
|
24 |
|
23 |
|
Задача 9. На сборку поступают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,1% брака, второй– 0,2%, а третий- 0,3%. Найти вероятность того, что на сборку попала бракованная деталь, если с первого автомата поступило 1000, со второго2000 и с третьего – 3000 деталей.
Решение. Пусть событие A={на сборку поступила бракованная деталь}, гипотезы Hi={деталь изготовлена на i-м автомате},
i=1,2,3. Из условий задачи следует, что ( ) = |
|
= |
|
, |
|
|
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»
( ) = |
|
= |
|
|
( ).=По |
5 |
|
|
( ⁄ |
|
( ⁄ ) = |
||||||||||
|
|
, |
= |
|
, |
)=0,001, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,002 |
|
( ⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, |
) = 0,003 |
|
|
|
формуле полной вероятности полу- |
||||||||||||||||
чаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ( ⁄ ) = |
|||
( ) = ( ) ( ⁄ ) + ( ) ( ⁄ )+. |
|||||||||||||||||||||
= |
|
0,001 + |
|
|
0,002 + |
|
0,003 ≈ 0,002 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача 10. В первом ящике 10 белых и 8 черных шаров, во втором ящике 12 белых и 6 черных шаров, из первого ящика во второй наудачу перекладывают 5 шаров, а затем из второго берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. Решение. Пусть событие A={извлеченный из 2-го ящика шар белый}, гипотезы Hi={извлеченный из 2-го ящика шар первоначально принадлежал i-ому ящику}, i=1,2. Так как первоначально во втором ящике было 18 шаров, а положили туда 5 шаров из
первого ящика, то |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. Учитывая первона- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||
чальный состав шаров( , |
) |
= |
|
|
|
( |
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( ⁄ |
) = |
= |
|
|
|
|
|
|
формуле полной вероятности вы- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. Теперь по |
|
( ⁄ |
) = |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
числяем вероятность события A: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( ) = |
( |
) ( ⁄ ) + |
|
( ) |
( |
⁄ |
) = |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
≈ 0,64. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Задача 11. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
Решение. Пусть событие A={машина подъехала для заправки}. Тогда можно рассмотреть следующие гипотезы: H1={машина грузовая}, H2={машина легковая}. По условию задачи
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»
( |
) = |
|
|
= 0,6. По |
( |
) = |
|
6 |
|
( ⁄ |
) = 0,1 |
|
|||
|
|
|
= 0,4 |
|
|
||||||||||
( |
|
|
|
, |
|
|
|
|
, а |
|
|
|
, |
||
⁄ ) = 0,2 |
( |
) |
( ⁄ |
) |
|
|
, , |
|
. |
||||||
( |
⁄ |
) = |
|
формуле Бейеса вычисляем: |
|
|
|||||||||
( ) ( |
⁄ |
) |
( |
|
) ( ⁄ ) |
= |
, , |
, , |
≈ 0,43 |
||||||
Задача 12. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что он болел заболеванием K.
Решение. Пусть событие A={больной выписан здоровым}, тогда Имеют место следующие гипотезы: H1={больной страдал заболеванием K}, H2={больной страдал заболеванием L}, H3={больной страдал заболеванием }. По условиям задачи
( |
) = 0,5 |
( |
) = 0,3 |
( |
.) = 0,2 |
( ⁄ ) = 0,7 |
|
||||
( |
, |
, |
|
|
, а |
, |
|
||||
⁄ ) = 0,8, |
( ⁄ ) = 0,9 |
|
Тогда по формуле Бейеса: |
|
|||||||
( ⁄ ) = |
|
|
|
( |
) ( ∕ |
) |
|
= |
|||
( ) ( ⁄ )+ ( ) ( ⁄ )+ ( ) ( ⁄ ) |
|||||||||||
= |
|
|
0,5 0,7 |
|
|
= |
|
0,35 |
≈ 0,45 |
|
|
0,5 0,7+0,3 0,8+0,2 0,9 |
|
0,35+0,24+0,18 |
|
||||||||
Задача 13. Вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41-го размера, равна 0,25. Найти вероятность, что из шести покупателей двум необходима обувь 41-го размера.
Решение. Шесть покупателей – это шесть независимых испытаний. Пусть событие A={необходима обувь 41-го размера}, оно может произойти в любом из шести испытаний, вероятность появления этого события в отдельном испытании равна 0,25, а вероятность непоявления равна 1-0,25=0,75.
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»
7
Вероятность того, что двум покупателям из шести потребуется обувь 41-го размера вычисляется по формуле Бернулли:
, = |
= |
6! |
0,25. |
0,75 |
= |
4! 5 6 |
0,25 0,75 = |
2!4! |
2 4! |
||||||
= 5 3 0,25 |
0,75 ≈ 0,3 |
|
|
|
|
||
Задача 14. Всхожесть семян составляет в среднем 80%. Найти наивероятнейшее число всхожих семян из девяти.
Решение. Наивероятнейшее число всхожих семян вычисляется
ем, что |
|
= [ |
+ |
]. |
Так как |
= 9, |
= 0,8. Получено |
||||||
по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
, то получа- |
|||||
целое число=, |
[9 0,8+0,8] = [7,2+0,8] = [8] = 8 |
||||||||||||
|
|
|
|
значит существует два наивероятнейших числа |
|||||||||
всхожих семян: 8 и 7. Вероятности их наибольшие и равны |
|||||||||||||
между собой. Действительно, , |
= (0,8) (0,2) = |
||||||||||||
9! |
|
|
|
|
7! 8 9 |
|
|
|
|
|
|||
= |
7!2! |
|
0,2097 0,04 = |
|
7! 2 |
0,2097 0,04 = |
|||||||
|
|
|
|
= 36 0,2097 0,04 ≈ 0,302 |
8! 9 |
|
|||||||
, = |
|
(0,8) (0,2) |
= |
|
9! |
0,1678 0,2 = |
0,1678 0,2 = |
||||||
|
|
. |
8! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
8!1! |
|
|
|
|
|
||
= 9 0,1678 0,2 ≈ 0,302
Задача 15. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность, что магазин получит 5 разбитых бутылок.
Решение. Пусть событие A={бутылка разобьется при перевозке}, так как число испытаний велико, 1000, а вероятность появления события A в отдельном испытании мала, p=0,003, то вероятность того, что магазин получит 5 разбитых бутылок вычис-
ляется по формуле Пуассона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
|
= ! |
, |
где λ= |
. = |
||||||
= |
|
, тогда |
|
||||||||
1000 0,003 = 3 |
! |
= |
|
|
|
||||||
|
|
, = |
|
|
|
≈ 0,1 |
|||||
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»
8
Задача 16. Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта. Решение. Пусть событие A={деталь первого сорта}, оно может произойти или не произойти в одном из 100 независимых испытаний, вероятность появления события в отдельном испытании = 0,8, а вероятность непоявления этого события = 1− = = 1 −0,8 = 0,2. Так как число испытаний велико, то вероятность того, что среди 100 деталей будет 75 деталей первого сорта надо вычислять по локальной формуле Лапласа, то есть:
, |
|
|
= √ |
( ) |
, где |
.= √ |
|
|
. Вычисляем |
= |
√ |
|
|
∙ |
, |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
√ |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
= −1,25 |
По таблице находим значение∙ ,функции∙ , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( |
) |
: функция |
|
( |
) |
|
|
|
|
, тогда |
(− ) = |
( |
|
) |
, поэтому |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
– четная, то есть |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(−1,25) = |
(1,25) = 0,1826. |
|
|
|
|
|
, = |
√ |
|
, |
∙ , ∙ , |
|
= |
||||||||||||||||||
= |
|
,√ |
|
|
= |
, |
|
|
≈ 0,046 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задача 17. Игральный кубик бросают 800 раз. Найти вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадет не меньше 260 и не больше 274 раз.
Решение. Пусть событие A={число выпавших очков кратно трем}, вероятность появления данного события в одном испы-
тании = = , а вероятность непоявления = 1 − = 1− =
= . Вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадет
не меньше 260 и не больше 274 раз при 800 бросаниях кубика надо вычислять по интегральной формуле Лапласа:
( , ) = Φ( )−Φ( ), где = 
, = 
.
√ √
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисляем: |
= |
|
|
|
∙ |
|
∙ |
∙ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
= 0,55, по табли- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
це находим значение функции Лапласа в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Φ( |
|
) = Φ(0,55) = 0,2088 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∙ ∙ ∙ |
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Аналогично, |
|
= |
|
0,55, то |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
= −0,5, Φ( |
|
) = Φ(−0,5) = −Φ( |
0,5) = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
=−0,1915. Тогда (260,274) = 0,2088 −(−0,1915) =
=0,2088+0,1915 = 0,4003.
Задачи для самостоятельного решения.
1.Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятность попадания в круг и кольца соответственно равны 0,35;0,2;0,15. Найти вероятность того, что стрелок попал в мишень.
2.Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 9, либо тому и другому одновременно.
3.На десяти карточках напечатаны цифры от 0 до 9. Найти вероятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 357.
4.В ящике 10 деталей, из которых 4 первого типа и 6 - второго. Для сборки агрегата нужно сначала взять деталь первого типа, а затем – второго. Найти вероятность того, что при выборке наудачу детали будут взяты в нужной последовательности.
5.Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»
10
сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?
6.В четырех ящиках лежат одинаковые по размеру шары. В первом ящике 8 белых и 6 черных шаров, во втором – 10 белых и 7 черных шаров, в третьем – 12 белых и 8 черных шаров, в четвертом – 9 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
7.На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,2% брака, второй – 0,3% и третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 500, со второго – 1000 и с третьего – 1500 деталей.
8.Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать четыре предположения (гипотезы). По данным статистики вероятности гипотез соответственно равны 0,2;0,4;0,3;0,1. В ходе расследования обнаружено, что произошла утечка топлива (событие A). Условные вероятности данного события по отношению к каждой гипотезе согласно той же статистике равны: 0,9;0;0,2;0,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?
9.Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Найти вероятность того, что из 6 больных 4 поправятся.
10.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,7. Найти вероятность наивероятнейшего числа попаданий, если произведено 9 выстрелов.
11.Завод отправил на базу 5000 качественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,0002. Найти вероятность, что в пути будет повреждено не более 3 изделий.
Практикум №3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Схема Бернулли»